Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 2 trang 27, 28 SGK Toán 12 tập 1 chương trình Kết nối tri thức. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán.
Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào các kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc 3
Đề bài
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 28 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = - 2{x^3} + 3{x^2} - 5x\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về sơ đồ khảo sát hàm số bậc ba để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
Sơ đồ khảo sát hàm số bậc ba
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
+ Tính đạo hàm y’. Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.
+ Xét dấu y’ để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.
+ Tìm cực trị của hàm số.
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực.
+ Lập bảng biến thiên của hàm số.
3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.
Lời giải chi tiết
1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
2. Sự biến thiên:
Ta có: \(y' = - 6{x^2} + 6x - 5 = - 6{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{7}{2} \le - \frac{7}{2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
Hàm số không có cực trị.
Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - 2{x^3} + 3{x^2} - 5x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^3}\left( { - 2 + \frac{3}{x} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} \right] = + \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - 2{x^3} + 3{x^2} - 5x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^3}\left( { - 2 + \frac{3}{x} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} \right] = - \infty \)
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = - 2{x^3} + 3{x^2} - 5x\) với trục tung là \(\left( {0;0} \right)\).
Ta có: \( - 2{x^3} + 3{x^2} - 5x = 0 \Leftrightarrow - x\left( {2{x^2} - 3x + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\). Do đó, giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm (0; 0).
Điểm \(\left( {1; - 4} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = - 2{x^3} + 3{x^2} - 5x\).
Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm \(\left( {\frac{1}{2}; - 2} \right)\).
Mục 2 trang 27, 28 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến khảo sát hàm số. Các bài tập trong mục này thường yêu cầu học sinh xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị, và vẽ đồ thị hàm số. Để giải quyết hiệu quả các bài toán này, học sinh cần nắm vững các khái niệm và định lý cơ bản về đạo hàm, đồng thời rèn luyện kỹ năng tính toán và phân tích.
Mục 2 bao gồm một số bài tập với mức độ khó tăng dần. Dưới đây là phân tích chi tiết từng bài tập:
Bài tập này yêu cầu học sinh khảo sát hàm số bậc ba, bao gồm xác định tập xác định, tính đạo hàm, tìm cực trị, và vẽ đồ thị hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần thực hiện các bước sau:
Bài tập này yêu cầu học sinh khảo sát hàm số hữu tỉ, bao gồm xác định tiệm cận, tính đạo hàm, tìm cực trị, và vẽ đồ thị hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần thực hiện các bước sau:
Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết một bài toán thực tế, ví dụ như tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số trong một khoảng cho trước. Để giải bài tập này, học sinh cần thực hiện các bước sau:
Xét hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Ta thực hiện các bước sau:
Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải các bài tập về khảo sát hàm số là rất quan trọng đối với học sinh lớp 12. Hy vọng rằng với những hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trên, các em sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài tập trong mục 2 trang 27, 28 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức.
