Chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, phần Ứng dụng hình học của tích phân đóng vai trò quan trọng trong việc củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đầy đủ lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập thực hành để giúp bạn hiểu sâu sắc và tự tin làm bài.
Học phần này, bạn sẽ nắm vững cách sử dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay, và giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến hình học.
1.Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng a) Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b
1.Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
a) Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \) |
b) Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng x = a, x = b
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x), g(x) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \) |
2. Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể
a) Tính thể tích vật thể
Cho một vật thể trong không gian Oxyz. Gọi \(\beta \) là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ x = a, x = b. Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích là S(x). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Khi đó thể tích V của vật thể \(\beta \) được tính bởi công thức \(V = \int\limits_a^b {S(x)dx} \) |
b) Tính thể tích khối tròn xoay
Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay. Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm \(x \in \left[ {a;b} \right]\) được một hình tròn có bán kính f(x). Thể tích của khối tròn xoay này là \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} \)\(\) |
Ứng dụng hình học của tích phân là một trong những nội dung quan trọng của chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Nó giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa tích phân và hình học, đồng thời rèn luyện kỹ năng giải toán thực tế.
Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (với a < b), ta sử dụng công thức:
S = ∫ab |f(x)| dx
Trong đó:
Nếu f(x) ≥ 0 trên [a, b] thì |f(x)| = f(x). Nếu f(x) < 0 trên [a, b] thì |f(x)| = -f(x).
Có hai phương pháp chính để tính thể tích vật thể tròn xoay:
Các bài tập về ứng dụng hình học của tích phân thường xoay quanh các chủ đề sau:
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x2, trục Ox và đường thẳng x = 2.
Giải:
Diện tích hình phẳng cần tính là:
S = ∫02 x2 dx = [x3/3]02 = 8/3
Ví dụ 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi việc quay miền phẳng giới hạn bởi y = √x, trục Ox và đường thẳng x = 4 quanh trục Ox.
Giải:
Thể tích vật thể tròn xoay cần tính là:
V = π ∫04 (√x)2 dx = π ∫04 x dx = π [x2/2]04 = 8π
Để giải tốt các bài tập về ứng dụng hình học của tích phân, bạn cần:
Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán, bạn nên:
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp một hệ thống bài tập phong phú và đa dạng, giúp bạn luyện tập và nâng cao kỹ năng giải toán một cách hiệu quả. Hãy truy cập website của chúng tôi để khám phá thêm nhiều tài liệu học tập hữu ích.
