Giải bài tập 4.33 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Bài tập 4.33 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình học Toán 12 Kết nối tri thức. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến tính đơn điệu của hàm số.

Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {e^x},y = x,x = 0\) và \(x = 1\).

Đề bài

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {e^x},y = x,x = 0\) và \(x = 1\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 4.33 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức 1

Sử dụng kiến thức về diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và đường thẳng \(x = a,x = b\) để tính: Diện tích S của hình phẳng giới hạn đồ thị của hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng \(x = a,x = b\), được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết

Diện tích hình phẳng cần tính là:

\(S = \int\limits_0^1 {\left| {{e^x} - x} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{e^x} - x} \right)dx} = \left( {{e^x} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = e - \frac{1}{2} - {e^0} + 0 = e - \frac{3}{2}\)

Chinh phục điểm cao Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán, rộng mở cánh cửa Đại học với nội dung Giải bài tập 4.33 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức trong chuyên mục bài toán lớp 12 trên nền tảng soạn toán! Bộ bài tập toán trung học phổ thông, được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, cam kết tối ưu hóa toàn diện lộ trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn trang bị chiến thuật làm bài hiệu quả, tự tin đạt kết quả đột phá, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vững vàng vào đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, khoa học và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.

Giải bài tập 4.33 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết

Bài tập 4.33 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu học sinh xét tính đơn điệu của hàm số. Để giải bài tập này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Xác định tập xác định của hàm số: Tìm khoảng mà hàm số có nghĩa.
Tính đạo hàm của hàm số: Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm để tìm đạo hàm f'(x).
Xét dấu đạo hàm: Tìm các khoảng mà f'(x) > 0 (hàm số đồng biến), f'(x) < 0 (hàm số nghịch biến) và f'(x) = 0 (điểm cực trị).
Kết luận về tính đơn điệu của hàm số: Dựa vào dấu của đạo hàm để kết luận hàm số đồng biến, nghịch biến trên các khoảng tương ứng.

Lời giải chi tiết bài tập 4.33 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Để minh họa, chúng ta sẽ xét một ví dụ cụ thể. Giả sử hàm số cần xét là f(x) = x³ - 3x² + 2.

Tập xác định: Hàm số f(x) xác định trên R.
Đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x.
Xét dấu đạo hàm:
- f'(x) = 0 khi 3x² - 6x = 0 => x(3x - 6) = 0 => x = 0 hoặc x = 2.
- Xét khoảng (-∞; 0): Chọn x = -1, f'(-1) = 3(-1)² - 6(-1) = 9 > 0 => Hàm số đồng biến trên (-∞; 0).
- Xét khoảng (0; 2): Chọn x = 1, f'(1) = 3(1)² - 6(1) = -3 < 0 => Hàm số nghịch biến trên (0; 2).
- Xét khoảng (2; +∞): Chọn x = 3, f'(3) = 3(3)² - 6(3) = 9 > 0 => Hàm số đồng biến trên (2; +∞).
Kết luận: Hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Mở rộng kiến thức về tính đơn điệu của hàm số

Ngoài việc xét dấu đạo hàm, chúng ta còn có thể sử dụng các phương pháp khác để xét tính đơn điệu của hàm số, chẳng hạn như:

Sử dụng định lý về dấu của đạo hàm: Nếu f'(x) > 0 trên một khoảng thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng đó. Nếu f'(x) < 0 trên một khoảng thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng đó.
Sử dụng đạo hàm cấp hai: Nếu f''(x) > 0 trên một khoảng thì hàm số f(x) lồi trên khoảng đó. Nếu f''(x) < 0 trên một khoảng thì hàm số f(x) lõm trên khoảng đó.

Luyện tập thêm các bài tập tương tự

Để nắm vững kiến thức về tính đơn điệu của hàm số, bạn nên luyện tập thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 12 tập 2 và các tài liệu tham khảo khác. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về phương pháp giải và tự tin làm bài tập.

Tổng kết

Bài tập 4.33 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về tính đơn điệu của hàm số. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết trên, bạn đã có thể giải bài tập này một cách dễ dàng và hiệu quả. Chúc bạn học tốt!