Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Công thức xác suất toàn phần và Công thức Bayes trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Đây là một trong những chủ đề quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia.
Bài học này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức nền tảng vững chắc, cùng với các ví dụ minh họa và bài tập thực hành để bạn có thể tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
1. Công thức xác suất toàn phần
1. Công thức xác suất toàn phần
Cho hai biến cố A và B. Khi đó, ta có công thức sau: \(P(B) = P(A).P(B|A) + P(\overline A ).P(B|\overline A )\) |
Ví dụ 1: Ông An hằng ngày đi làm bằng xe máy hoặc xe buýt. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là 0,4. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là 0,7. Xét một tuần mà thứ hai ông An đi làm bằng xe buýt. Tính xác suất để thứ tư trong tuần đó, ông An đi làm bằng xe máy.
Giải:
Gọi A là biến cố: “Thứ ba, ông An đi làm bằng xe máy”; B là biến cố: “Thứ tư, ông An đi làm bằng xe máy”. Ta cần tính P(B). Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\(P(B) = P(A).P(B|A) + P(\overline A ).P(B|\overline A )\)
\(P(B) = P(A).P(B|A) + P(\overline A ).P(B|\overline A ) = 0,4.0,3 + 0,6.0,4 = 0,36\)
2. Công thức Bayes
Cho A và B là hai biến cố, với P(B) > 0. Khi đó, ta có công thức sau: \(P(A|B) = \frac{{P(A).P(B|A)}}{{P(A).P(B|A) + P(\overline A ).P(B|\overline A )}}\) |
Ví dụ 2: Trong một kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông, một tỉnh X có 80% học sinh lựa chọn tổ hợp A00. Biết rằng, nếu một học sinh chọn tổ hợp A00 thì xác suất để học sinh đó đỗ đại học là 0,6; còn nếu mọt học sinh không chọn tổ hợp A00 thì xác suất để học sinh đỗ đại học là 0,7. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh X đã tốt nghiệp trung học phổ thông trong kì thi trên. Biết rằng học sinh này đã đỗ đại học. Tính xác suất để học sinh đó chọn tổ hợp A00.
Giải:
Gọi A là biến cố: “Học sinh đó chọn tổ hợp A00”; B là biến cố: “Học sinh đó đỗ đại học”.
Ta cần tính P(A|B). Theo công thức Bayes, ta cần biết: \(P(A),P(\overline A ),P(B|A)\) và \(P(B|\overline A )\).
Ta có: P(A) = 0,8; \(P(\overline A )\) = 1 – P(A) = 1 – 0,8 = 0,2.
P(B|A) là xác suất để một học sinh đỗ đại học với điều kiện học sinh đó chọn tổ hợp A00.
\( \Rightarrow P(B|A) = 0,6\).
\(P(B|\overline A )\) là xác suất để một học sinh đỗ đại học với điều kiện học sinh đó không chọn tổ hợp A00.
\( \Rightarrow P(B|\overline A ) = 0,7\).
Thay vào công thức Bayes ta được:
\(P(A|B) = \frac{{P(A).P(B|A)}}{{P(A).P(B|A) + P(\overline A ).P(B|\overline A )}} = \frac{{0,8.0,6}}{{0,8.0,6 + 0,2.0,7}} \approx 0,7742\)
Trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, hai khái niệm quan trọng trong lĩnh vực xác suất là Công thức xác suất toàn phần và Công thức Bayes. Việc nắm vững hai công thức này không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán xác suất phức tạp mà còn ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác của cuộc sống.
Công thức xác suất toàn phần được sử dụng để tính xác suất của một biến cố khi biến cố đó có thể xảy ra thông qua một số các biến cố khác loại trừ lẫn nhau.
Phát biểu: Giả sử A là một biến cố. Gọi B1, B2, ..., Bn là một hệ các biến cố xung khắc đôi một và thỏa mãn:
Khi đó, xác suất của biến cố A được tính theo công thức:
P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bn)P(Bn)
Ví dụ: Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất. Dây chuyền 1 sản xuất 60% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 2%. Dây chuyền 2 sản xuất 40% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 3%. Tính xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên từ nhà máy là sản phẩm lỗi.
Giải:
Ta có:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) = 0.02 * 0.6 + 0.03 * 0.4 = 0.012 + 0.012 = 0.024
Vậy, xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên từ nhà máy là sản phẩm lỗi là 2.4%.
Công thức Bayes được sử dụng để tính xác suất có điều kiện của một biến cố khi biết kết quả của một biến cố khác.
Phát biểu: Giả sử A và B là hai biến cố. Khi đó, xác suất của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra được tính theo công thức:
P(A|B) = [P(B|A)P(A)] / P(B)
Trong đó, P(B) có thể được tính bằng công thức xác suất toàn phần:
P(B) = P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + ... + P(B|An)P(An)
Ví dụ: Một bệnh viện thực hiện xét nghiệm để chẩn đoán một bệnh. Xét nghiệm có độ chính xác 95%, nghĩa là nếu một người mắc bệnh, xét nghiệm sẽ cho kết quả dương tính với xác suất 95%, và nếu một người không mắc bệnh, xét nghiệm sẽ cho kết quả âm tính với xác suất 95%. Biết rằng 1% dân số mắc bệnh này. Một người được xét nghiệm và kết quả dương tính. Tính xác suất người đó mắc bệnh.
Giải:
Ta có:
Áp dụng công thức Bayes, ta có:
P(A|B) = [P(B|A)P(A)] / [P(B|A)P(A) + P(B|¬A)P(¬A)] = (0.95 * 0.01) / (0.95 * 0.01 + 0.05 * 0.99) = 0.0095 / (0.0095 + 0.0495) = 0.0095 / 0.059 = 0.161
Vậy, xác suất người đó mắc bệnh là khoảng 16.1%.
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về Lý thuyết Công thức xác suất toàn phần và Công thức Bayes Toán 12 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!
