Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách giải bài tập 5.40 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập tốt nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và đạt kết quả cao trong môn Toán.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1;0; - 1} \right),B\left( {0;1;2} \right),C\left( { - 1; - 2;3} \right)\). a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). b) Viết phương trình đường thẳng AC. c) Viết phương trình mặt cầu đường kính AC. d) Viết phương trình mặt cầu có tâm A và đi qua B.
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1;0; - 1} \right),B\left( {0;1;2} \right),C\left( { - 1; - 2;3} \right)\).
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b) Viết phương trình đường thẳng AC.
c) Viết phương trình mặt cầu đường kính AC.
d) Viết phương trình mặt cầu có tâm A và đi qua B.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng để viết: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:
+ Tìm cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \)
+ Tìm vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).
+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \).
b, c) Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\). Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) (t là tham số, \(t \in \mathbb{R}\)).
Sử dụng kiến thức về phương trình chính tắc của đường thẳng để viết phương trình đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) với a, b, c là các số khác 0. Hệ phương trình \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \).
c, d) Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để xác định tâm và bán kính của mặt cầu: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm \(I\left( {a;{\rm{ }}b;{\rm{ }}c} \right)\), bán kính R có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;3} \right),\overrightarrow {AC} \left( { - 2; - 2;4} \right) \Rightarrow \frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {AC} = \left( {1;1; - 2} \right)\)
a) Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\1&{ - 2}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 1}\\{ - 2}&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\1&1\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 5;1; - 2} \right)\)
Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm \(A\left( {1;0; - 1} \right)\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 5;1; - 2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (ABC) là:
\( - 5\left( {x - 1} \right) + y - 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow - 5x + y - 2z + 3 = 0\)
b) Đường thẳng AC đi qua điểm \(A\left( {1;0; - 1} \right)\) và nhận \(\frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {AC} = \left( {1;1; - 2} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên phương trình chính tắc đường thẳng AC là \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\) phương trình tham số đường thẳng AC là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = t\\z = - 1 - 2t\end{array} \right.\).
c) Gọi I là trung điểm của AC nên \(I\left( {0; - 1;1} \right)\)
Mặt cầu đường kính AC có bán kính \(R = \frac{{AC}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt 6 \) và tâm \(I\left( {0; - 1;1} \right)\) nên phương trình mặt cầu là: \({x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\)
d) Mặt cầu tâm A đi qua B có tâm là \(A\left( {1;0; - 1} \right)\) và bán kính \(AB = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {3^2}} = \sqrt {11} \) nên phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 11\)
Bài tập 5.40 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để tìm cực trị của hàm số, từ đó xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước.
Trước khi bắt đầu giải bài tập, chúng ta cần đọc kỹ đề bài để hiểu rõ yêu cầu. Thông thường, đề bài sẽ cho một hàm số và yêu cầu tìm cực trị, hoặc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng nhất định. Việc xác định đúng yêu cầu của đề bài là bước quan trọng để giải bài tập một cách chính xác.
Giả sử hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2. Chúng ta sẽ áp dụng các bước trên để tìm cực trị của hàm số này.
Khi giải bài tập về cực trị, cần lưu ý một số điểm sau:
Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập tương tự trong SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức. Ngoài ra, bạn có thể tìm kiếm thêm các bài tập trên mạng hoặc tham khảo các tài liệu ôn thi Toán 12.
Bài tập 5.40 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn sẽ giải bài tập một cách dễ dàng và hiệu quả. Chúc bạn học tốt!
