Bài tập 5.24 trang 53 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình học Toán 12 Kết nối tri thức. Bài tập này thường liên quan đến các kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
(H.5.39) Trong một bể hình lập phương cạnh 1m có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành ABCD và khoảng cách từ các điểm A, B, C đến đáy bể tương ứng là 40cm, 44cm, 48cm. a) Khoảng cách từ điểm D đến đáy bể bằng bao nhiêu centimét? (Tính gần đúng, lấy giá trị nguyên.) b) Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?
Đề bài
(H.5.39) Trong một bể hình lập phương cạnh 1m có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành ABCD và khoảng cách từ các điểm A, B, C đến đáy bể tương ứng là 40cm, 44cm, 48cm.
a) Khoảng cách từ điểm D đến đáy bể bằng bao nhiêu centimét? (Tính gần đúng, lấy giá trị nguyên.)
b) Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)\). Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)) được tính theo công thức:
\(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {AA' + BB' + CC'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{'^2} + B{'^2} + C{'^2}} }}\)
Lời giải chi tiết
a) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
Khi đó, \(A\left( {0;1;0,4} \right),B\left( {1;1;0,44} \right),C\left( {1;0;0,48} \right),D\left( {0;0;z} \right)\)
Suy ra: \(\overrightarrow {AB} \left( {1;0;0,04} \right),\overrightarrow {DC} \left( {1;0,0,48 - z} \right)\)
Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Rightarrow 0,48 - z = 0,04 \Rightarrow z = 0,44\)
Do đó, \(D\left( {0;0;0,44} \right)\). Vậy khoảng cách từ D đến đáy bể bằng 44cm.
b) Đặt tên các điểm như hình vẽ. Kẻ AA’ vuông góc với Oz tại A’.
Mặt phẳng (Oxz) nhận \(\overrightarrow j \left( {0;1;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (Oxz) là: \(y = 0\).
Ta có: \(AA' = d\left( {A,\left( {Oxz} \right)} \right) = \frac{{\left| 1 \right|}}{{\sqrt 1 }} = 1\), \(AD = \sqrt {{1^2} + 0,{{04}^2}} = \frac{{\sqrt {626} }}{{25}}\)
Tam giác ADA’ vuông tại A’ nên \(\cos \left( {AA',DA} \right) = \frac{{AA'}}{{AD}} = \frac{1}{{\frac{{\sqrt {626} }}{{25}}}} \Rightarrow \left( {AA',AD} \right) \approx 2,{3^o}\)
Vậy đáy bể nghiêng mới mặt nằm ngang một góc khoảng \(2,{3^o}\).
Bài tập 5.24 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết một bài toán cụ thể. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các bước sau:
Để minh họa các bước trên, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích bài tập 5.24 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức. (Giả sử bài tập 5.24 là hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2)
Đạo hàm cấp một của hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2 là:
y' = 3x^2 - 6x
Đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2 là:
y'' = 6x - 6
Giải phương trình y' = 0:
3x^2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
Tại x = 0, y'' = 6(0) - 6 = -6 < 0, vậy x = 0 là điểm cực đại.
Tại x = 2, y'' = 6(2) - 6 = 6 > 0, vậy x = 2 là điểm cực tiểu.
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là y = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = -2.
Bài tập 5.24 trang 53 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức là một bài tập điển hình về ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Bằng cách nắm vững các bước giải và áp dụng linh hoạt các kiến thức đã học, các em học sinh có thể giải quyết bài tập này một cách hiệu quả và chính xác.
