Lý thuyết Nguyên hàm Toán 12 Kết nối tri thức

Nguyên hàm là một khái niệm quan trọng trong chương trình Giải tích lớp 12, đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết các bài toán tích phân. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đầy đủ và chi tiết lý thuyết Nguyên hàm Toán 12 Kết nối tri thức, giúp bạn hiểu rõ bản chất và ứng dụng của kiến thức này.

Bài viết này sẽ trình bày một cách hệ thống các kiến thức cơ bản về nguyên hàm, bao gồm định nghĩa, tính chất, các công thức nguyên hàm cơ bản và phương pháp tính nguyên hàm.

Lý thuyết Nguyên hàm

1. Nguyên hàm của một hàm số

Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x)=f(x) với mọi x thuộc K.

Chú ý:

Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó:

a) Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K

b) Nếu hàm số G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao chp G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K

Như vậy, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (C là hằng số). Ta gọi F(x) + C là họ các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu bởi \(\int {f(x)dx} \).

2. Tính chất cơ bản của nguyên hàm

\(\int {kf(x)dx = k\int {f(x)dx(k \ne 0)} } \)
\(\int {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int {f(x)dx + \int {g(x)dx} } \)
\(\int {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx = \int {f(x)dx - \int {g(x)dx} } \)

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

a) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa \(y = {x^\alpha }(\alpha \in R)\) có đạo hàm với mọi x > 0 và \(({x^\alpha })' = \alpha {x^{\alpha - 1}}\)

\(\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C(\alpha \ne - 1)} \)
\(\int {\frac{1}{x}x = \ln \left| x \right| + C} \)

b) Nguyên hàm của hàm số lượng giác

\(\int {\cos xdx = \sin x + C} \)
\(\int {\sin xdx = - \cos x + C} \)
\(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C} \)
\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = - \cot x + C} \)

c) Nguyên hàm của hàm số mũ

\(\int {{e^x}dx = {e^x} + C} \)
\(\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C(0 < a \ne 1)} \)

Lý thuyết Nguyên hàm Toán 12 Kết nối tri thức 1

Chinh phục điểm cao Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán, rộng mở cánh cửa Đại học với nội dung Lý thuyết Nguyên hàm Toán 12 Kết nối tri thức trong chuyên mục đề toán lớp 12 trên nền tảng môn toán! Bộ bài tập toán trung học phổ thông, được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, cam kết tối ưu hóa toàn diện lộ trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn trang bị chiến thuật làm bài hiệu quả, tự tin đạt kết quả đột phá, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vững vàng vào đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, khoa học và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.

Lý thuyết Nguyên hàm Toán 12 Kết nối tri thức

Nguyên hàm là một khái niệm nền tảng trong giải tích, đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến tích phân. Hiểu rõ lý thuyết nguyên hàm là điều kiện cần thiết để học tốt môn Toán 12 và các môn học liên quan sau này.

1. Định nghĩa Nguyên hàm

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K. Ký hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C, trong đó C là hằng số tích phân.

2. Tính chất của Nguyên hàm

Tính chất 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) với mọi hằng số C.
Tính chất 2: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx, với k là hằng số.
Tính chất 3: ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.

3. Các Công thức Nguyên hàm Cơ bản

Dưới đây là một số công thức nguyên hàm cơ bản thường được sử dụng:

Hàm số f(x)	Nguyên hàm F(x)
xⁿ (n ≠ -1)	(xⁿ⁺¹)/(n+1) + C
1/x	ln\|x\| + C
e^x	e^x + C
sin(x)	-cos(x) + C
cos(x)	sin(x) + C

4. Phương pháp Tính Nguyên hàm

Có nhiều phương pháp để tính nguyên hàm, tùy thuộc vào dạng của hàm số f(x). Một số phương pháp phổ biến bao gồm:

Phương pháp đặt ẩn phụ: Sử dụng để đơn giản hóa biểu thức tích phân.
Phương pháp tích phân từng phần: ∫u dv = uv - ∫v du.
Phương pháp phân tích thành nhân tử: Sử dụng để tách tích phân thành các tích phân đơn giản hơn.

5. Ví dụ Minh họa

Ví dụ 1: Tính ∫x² dx.

Áp dụng công thức ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C, ta có ∫x² dx = (x³)/3 + C.

Ví dụ 2: Tính ∫sin(2x) dx.

Đặt u = 2x, du = 2dx, dx = du/2. Khi đó, ∫sin(2x) dx = ∫sin(u) (du/2) = (1/2)∫sin(u) du = (1/2)(-cos(u)) + C = -(1/2)cos(2x) + C.

6. Ứng dụng của Nguyên hàm

Nguyên hàm có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:

Tính diện tích hình phẳng: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức ∫_a^b f(x) dx.
Tính thể tích vật thể: Thể tích vật thể tròn xoay được tính bằng công thức tích phân.
Giải phương trình vi phân: Nguyên hàm được sử dụng để giải các phương trình vi phân.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về Lý thuyết Nguyên hàm Toán 12 Kết nối tri thức. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và áp dụng thành thạo vào giải quyết các bài toán thực tế.