Lý thuyết Giá trị lớn nhất - nhỏ nhất hàm số Toán 12 Kết nối tri thức

Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức

Chủ đề Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Nắm vững lý thuyết này giúp học sinh giải quyết các bài toán thực tế và nâng cao kỹ năng tư duy toán học.

Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, dễ hiểu, bao gồm lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập luyện tập để giúp bạn nắm vững kiến thức này một cách hiệu quả.

1. Định nghĩa Khái niệm GTLN, GTNN của hàm số

1. Định nghĩa

Khái niệm GTLN, GTNN của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

- Số M là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) $ \le $ M với mọi $x \in D$ và tồn tại ${x_0} \in D$ sao cho $f({x_0})$ = M.

Kí hiệu M = $\mathop {\max }\limits_{x \in D} f(x)$ hoặc M = $\underset{D}{\mathop{\max }}\,f(x)$

- Số m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) $ \ge $ m với mọi $x \in D$ và tồn tại ${x_0} \in D$ sao cho $f({x_0})$ = m.

Kí hiệu m = $\mathop {\min }\limits_{x \in D} f(x)$ hoặc m = $\mathop {\min }\limits_D f(x)$

Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = f(x) = \sqrt {1 - {x^2}} $

Tập xác định của hàm số là $\left[ { - 1;1} \right]$

Ta có:

$f(x) = \sqrt {1 - {x^2}} $ $ \ge $ 0; dấu bằng xảy ra khi $1 - {x^2} = 0$, tức x = -1 hoặc x = 1.

Do đó $\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;1} \right]} f(x) = f( - 1) = f(1) = 0$

$f(x) = \sqrt {1 - {x^2}} $ $ \le 1$; dấu bằng xảy ra khi $1 - {x^2} = 1$, tức x = 0.

Do đó $\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;1} \right]} f(x) = f(0) = 1$

2. Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Giả sử y = f(x) là hàm số liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ và có đạo hàm trên (a;b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn $\left[ {a;b} \right]$ mà đạo hàm f’(x) = 0.

Các bước tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$:

Tìm các điểm ${x_1},{x_2},...,{x_n} \in (a;b)$, tại đó f’(x) = 0 hoặc không tồn tại
Tính $f({x_1}),f({x_2}),...,f({x_n}),f(a)$ và $f(b)$
Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:

M = $\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x)$; m = $\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x)$

Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = {x^4} - 4{x^2} + 3$ trên đoạn $\left[ {0;4} \right]$

Ta có: $y' = 4{x^3} - 8x = 4x({x^2} - 2);y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \sqrt 2 $ (vì $x \in \left[ {0;4} \right]$)

y(0) = 3; y(4) = 195; y($\sqrt 2 $) = -1

Do đó: $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y(4) = 195$; $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y(\sqrt 2 ) = - 1$

Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức 1

Chinh phục điểm cao Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán, rộng mở cánh cửa Đại học với nội dung Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức trong chuyên mục bài tập toán 12 trên nền tảng toán math! Bộ bài tập toán trung học phổ thông, được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, cam kết tối ưu hóa toàn diện lộ trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn trang bị chiến thuật làm bài hiệu quả, tự tin đạt kết quả đột phá, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vững vàng vào đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, khoa học và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.

Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức

Trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, việc tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số đóng vai trò quan trọng, không chỉ trong việc giải quyết các bài toán cụ thể mà còn là nền tảng cho nhiều ứng dụng thực tế. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết, các phương pháp giải và ví dụ minh họa để giúp bạn hiểu rõ và áp dụng hiệu quả kiến thức này.

1. Khái niệm về Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cho hàm số f(x) xác định trên tập D.

M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = M.
m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D nếu f(x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = m.

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập D còn được gọi là cực trị của hàm số trên D.

2. Các phương pháp tìm Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất

Có nhiều phương pháp để tìm GTLN và GTNN của hàm số, tùy thuộc vào dạng hàm số và tập xác định. Dưới đây là một số phương pháp phổ biến:

2.1. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Nếu hàm số f(x) đơn điệu trên một khoảng D, thì GTLN và GTNN của f(x) trên D sẽ đạt được tại các mút của khoảng đó.

2.2. Phương pháp sử dụng đạo hàm

Đây là phương pháp phổ biến nhất để tìm GTLN và GTNN của hàm số. Các bước thực hiện như sau:

Tính đạo hàm f'(x) của hàm số.
Tìm các điểm dừng của hàm số (các điểm mà f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định).
Lập bảng biến thiên của hàm số.
Xác định GTLN và GTNN của hàm số dựa vào bảng biến thiên.

2.3. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức

Trong một số trường hợp, có thể sử dụng các bất đẳng thức để tìm GTLN và GTNN của hàm số. Ví dụ, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức AM-GM,...

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = x² - 4x + 3 trên khoảng [-1; 3].

Giải:

Tính đạo hàm: f'(x) = 2x - 4.
Tìm điểm dừng: f'(x) = 0 ⇔ 2x - 4 = 0 ⇔ x = 2.
Lập bảng biến thiên:
x -1 2 3
f'(x) -6 0 2
f(x) 8 -1 0
Kết luận: Hàm số đạt GTLN tại x = -1, với giá trị là 8. Hàm số đạt GTNN tại x = 2, với giá trị là -1.

x	-1	2	3
f'(x)	-6	0	2
f(x)	8	-1	0

Ví dụ 2: Tìm GTLN của hàm số f(x) = -x² + 6x - 5.

Giải:

Hàm số là hàm bậc hai với hệ số a = -1 < 0, nên hàm số đạt GTLN tại đỉnh của parabol. Hoành độ đỉnh là x = -b/2a = -6/(2*(-1)) = 3. Giá trị GTLN là f(3) = -3² + 6*3 - 5 = 4.

4. Lưu ý khi giải bài toán Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất

Xác định đúng tập xác định của hàm số.
Kiểm tra kỹ các điểm dừng và các điểm không xác định của đạo hàm.
Sử dụng đúng phương pháp giải phù hợp với từng dạng bài toán.
Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!