Lý thuyết Hệ trục tọa độ trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức

Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Hệ trục tọa độ trong không gian, một phần quan trọng trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và các công thức cần thiết để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học không gian.

Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các khái niệm cơ bản như hệ trục tọa độ, tọa độ của điểm và vector, cũng như các phương pháp xác định phương trình mặt phẳng và đường thẳng trong không gian.

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O của mỗi trục. Gọi \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) lần lượt là các vecto đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz

- Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, hay đơn giản là hệ tọa độ Oxyz

- Điểm O được gọi là gốc tọa độ

- Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ

Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz

2. Tọa độ của điểm, tọa độ của vecto trong không gian

Tọa độ của điểm

Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x;y;z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết M = (x,y,z), trong đó x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của M

Tọa độ của vecto

Trong không gian Oxyz, cho vecto \(\overrightarrow a \) tùy ý. Bộ ba số (x;y;z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của vecto \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(\overrightarrow a \) = (x,y,z) hoặc \(\overrightarrow a \) (x,y,z)

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M({x_M};{y_M};{z_M})\) và \(N({x_N};{y_N};{z_N})\). Khi đó:

\(\overrightarrow {MN} = ({x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M};{z_N} - {z_M})\)

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C có A(1;0;2), B(3;2;5), C(7;-3;9)

a) Tìm tọa độ của \(\overrightarrow {AA'} \)

b) Tìm tọa độ của các điểm B’, C’

Lời giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {AA'} = ({x_{A'}} - {x_A};{y_{A'}} - {y_A};{z_{A'}} - {z_A}) = (4;0; - 1)\)

b) Gọi tọa độ của điểm B’ là (x,y,z) thì \(\overrightarrow {BB'} \) = (x-3;y-2;z-5). Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ABB’A’ là hình bình hành, suy ra \(\overrightarrow {AA'} \) = \(\overrightarrow {BB'} \)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 4\\y - 2 = 0\\z - 5 = - 1\end{array} \right.\) hay x = 7, y = 2, z = 4. Vậy B’(7;2;4)

Lập luận tương tự suy ra C’(11;-3;8)

Lý thuyết Hệ trục tọa độ trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức 1

Chinh phục điểm cao Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán, rộng mở cánh cửa Đại học với nội dung Lý thuyết Hệ trục tọa độ trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức trong chuyên mục giải sgk toán 12 trên nền tảng môn toán! Bộ bài tập toán thpt, được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, cam kết tối ưu hóa toàn diện lộ trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn trang bị chiến thuật làm bài hiệu quả, tự tin đạt kết quả đột phá, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vững vàng vào đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, khoa học và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.

Lý thuyết Hệ trục tọa độ trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức

Hệ trục tọa độ trong không gian là một công cụ quan trọng để mô tả vị trí của các điểm và vector trong không gian ba chiều. Nó bao gồm ba trục vuông góc nhau, thường được ký hiệu là Ox, Oy và Oz, và một gốc tọa độ O.

1. Hệ trục tọa độ Oxyz

Hệ trục tọa độ Oxyz được xác định bởi ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau tại gốc O. Mỗi điểm trong không gian có thể được xác định duy nhất bởi bộ ba số thực (x, y, z), gọi là tọa độ của điểm đó.

2. Tọa độ của điểm

Tọa độ của một điểm M trong không gian Oxyz là bộ ba số (x, y, z), ký hiệu là M(x, y, z). Trong đó:

x là hoành độ của điểm M.
y là tung độ của điểm M.
z là cao độ của điểm M.

3. Tọa độ của vector

Một vector a trong không gian Oxyz được xác định bởi bộ bốn số thực (a₁, a₂, a₃), ký hiệu là a = (a₁, a₂, a₃). Trong đó:

a₁ là hoành độ của vector a.
a₂ là tung độ của vector a.
a₃ là cao độ của vector a.

4. Các phép toán trên vector

Trong không gian Oxyz, các phép toán trên vector được thực hiện như sau:

Phép cộng vector:a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃)
Phép trừ vector:a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂, a₃ - b₃)
Phép nhân vector với một số thực: ka = (ka₁, ka₂, ka₃)

5. Tích vô hướng của hai vector

Tích vô hướng của hai vector a = (a₁, a₂, a₃) và b = (b₁, b₂, b₃) được tính bằng công thức:

a ⋅ b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

6. Phương trình mặt phẳng

Phương trình tổng quát của một mặt phẳng trong không gian Oxyz có dạng:

Ax + By + Cz + D = 0

Trong đó (A, B, C) là vector pháp tuyến của mặt phẳng.

7. Phương trình đường thẳng

Có nhiều dạng phương trình để biểu diễn một đường thẳng trong không gian Oxyz. Một trong số đó là:

x = x₀ + at

y = y₀ + bt

z = z₀ + ct

Trong đó (x₀, y₀, z₀) là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng và (a, b, c) là vector chỉ phương của đường thẳng.

8. Bài tập ví dụ

Bài tập 1: Tìm tọa độ của điểm M là hình chiếu vuông góc của điểm A(1, 2, 3) lên mặt phẳng (Oxy).

Giải: Vì M là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (Oxy) nên M có cùng hoành độ và tung độ với A, và cao độ bằng 0. Vậy M(1, 2, 0).

Bài tập 2: Cho hai điểm A(1, 0, 2) và B(3, 2, 1). Tìm tọa độ của trung điểm I của đoạn thẳng AB.

Giải: Tọa độ của trung điểm I được tính theo công thức: I((x_A + x_B)/2, (y_A + y_B)/2, (z_A + z_B)/2). Thay số vào, ta được I(2, 1, 3/2).

Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về Lý thuyết Hệ trục tọa độ trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!