Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải quyết các bài tập trong mục 2 trang 16, 17 của sách giáo khoa Toán 12 tập 2 chương trình Kết nối tri thức.
Chúng tôi hiểu rằng việc tự học Toán đôi khi gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, chúng tôi đã biên soạn lời giải chi tiết, kèm theo các bước giải thích rõ ràng, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Tính chất của tích phân
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 17 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tính \(\int\limits_0^3 {\left| {2x - 3} \right|dx} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tính chất của tích phân để tính: Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \) \(\left( {a < c < b} \right)\).
Lời giải chi tiết:
\(\int\limits_0^3 {\left| {2x - 3} \right|dx} = \int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left| {2x - 3} \right|dx} + \int\limits_{\frac{3}{2}}^3 {\left| {2x - 3} \right|dx} = \int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left( {3 - 2x} \right)dx} + \int\limits_{\frac{3}{2}}^3 {\left( {2x - 3} \right)dx} \)
\( = \left( {3x - {x^2}} \right)\left| \begin{array}{l}\frac{3}{2}\\0\end{array} \right. + \left( {{x^2} - 3x} \right)\left| \begin{array}{l}3\\\frac{3}{2}\end{array} \right. = \left[ {\left( {\frac{9}{2} - \frac{9}{4}} \right) - 0} \right] + \left[ {\left( {{3^2} - 3.3} \right) - \left( {\frac{9}{4} - \frac{9}{2}} \right)} \right] = \frac{9}{2}\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 16 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tính và so sánh:
a) \(\int\limits_0^1 {2xdx} \) và \(2\int\limits_0^1 {xdx} \);
b) \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + x} \right)dx} \) và \(\int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {xdx} \);
c) \(\int\limits_0^3 {xdx} \) và \(\int\limits_0^1 {xdx} + \int\limits_1^3 {xdx} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số \(F\left( b \right) - F\left( a \right)\) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\int\limits_0^1 {2xdx} = {x^2}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = 1\), \(2\int\limits_0^1 {xdx} = 2.\frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = 1\) nên \(\int\limits_0^1 {2xdx} = 2\int\limits_0^1 {xdx} \)
b) Ta có: \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + x} \right)dx} = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}\)
\(\int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {xdx} = \frac{{{x^3}}}{3}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. + \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = \frac{1}{3} - 0 + \frac{1}{2} - 0 = \frac{5}{6}\)
Do đó, \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + x} \right)dx} = \int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {xdx} \)
c) Ta có: \(\int\limits_0^3 {xdx} = \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}3\\0\end{array} \right. = \frac{{{3^2}}}{2} - 0 = \frac{9}{2}\); \(\int\limits_0^1 {xdx} + \int\limits_1^3 {xdx} = \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. + \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. = \frac{1}{2} - 0 + \frac{{{3^2}}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}\)
Do đó, \(\int\limits_0^3 {xdx} = \int\limits_0^1 {xdx} + \int\limits_1^3 {xdx} \)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 17 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tính các tích phân sau:
a) \(\int\limits_0^{2\pi } {\left( {2x + \cos x} \right)dx} \);
b) \(\int\limits_1^2 {\left( {{3^x} - \frac{3}{x}} \right)dx} \);
c) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tính chất của tích phân để tính: Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:
+ \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) (k là hằng số)
+ \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \)
+ \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} - \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \)
Lời giải chi tiết:
a) \(\int\limits_0^{2\pi } {\left( {2x + \cos x} \right)dx} = 2\int\limits_0^{2\pi } {xdx} + \int\limits_0^{2\pi } {\cos xdx} = 2.\frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}2\pi \\0\end{array} \right. + \sin x\left| \begin{array}{l}2\pi \\0\end{array} \right.\)
\( = {\left( {2\pi } \right)^2} - 0 + \sin 2\pi - \sin 0 = 4{\pi ^2}\)
b) \(\int\limits_1^2 {\left( {{3^x} - \frac{3}{x}} \right)dx} = \int\limits_1^2 {{3^x}dx} - 3\int\limits_1^2 {\frac{1}{x}dx} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. - 3\ln \left| x \right|\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. = \frac{1}{{\ln 3}}\left( {{3^2} - {3^1}} \right) - 3\ln 2 + 3\ln 1\)
\( = \frac{6}{{\ln 3}} - 3\ln 2\)
c) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} - \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = \tan x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{3}\\\frac{\pi }{6}\end{array} \right. + \cot x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{3}\\\frac{\pi }{6}\end{array} \right.} \)
\( = \tan \frac{\pi }{3} - \tan \frac{\pi }{6} + \cot \frac{\pi }{3} - \cot \frac{\pi }{6} = \sqrt 3 - \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{3} - \sqrt 3 = 0\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 16 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tính và so sánh:
a) \(\int\limits_0^1 {2xdx} \) và \(2\int\limits_0^1 {xdx} \);
b) \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + x} \right)dx} \) và \(\int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {xdx} \);
c) \(\int\limits_0^3 {xdx} \) và \(\int\limits_0^1 {xdx} + \int\limits_1^3 {xdx} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số \(F\left( b \right) - F\left( a \right)\) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\int\limits_0^1 {2xdx} = {x^2}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = 1\), \(2\int\limits_0^1 {xdx} = 2.\frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = 1\) nên \(\int\limits_0^1 {2xdx} = 2\int\limits_0^1 {xdx} \)
b) Ta có: \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + x} \right)dx} = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}\)
\(\int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {xdx} = \frac{{{x^3}}}{3}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. + \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = \frac{1}{3} - 0 + \frac{1}{2} - 0 = \frac{5}{6}\)
Do đó, \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + x} \right)dx} = \int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {xdx} \)
c) Ta có: \(\int\limits_0^3 {xdx} = \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}3\\0\end{array} \right. = \frac{{{3^2}}}{2} - 0 = \frac{9}{2}\); \(\int\limits_0^1 {xdx} + \int\limits_1^3 {xdx} = \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. + \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. = \frac{1}{2} - 0 + \frac{{{3^2}}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}\)
Do đó, \(\int\limits_0^3 {xdx} = \int\limits_0^1 {xdx} + \int\limits_1^3 {xdx} \)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 17 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tính các tích phân sau:
a) \(\int\limits_0^{2\pi } {\left( {2x + \cos x} \right)dx} \);
b) \(\int\limits_1^2 {\left( {{3^x} - \frac{3}{x}} \right)dx} \);
c) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tính chất của tích phân để tính: Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:
+ \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) (k là hằng số)
+ \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \)
+ \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} - \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \)
Lời giải chi tiết:
a) \(\int\limits_0^{2\pi } {\left( {2x + \cos x} \right)dx} = 2\int\limits_0^{2\pi } {xdx} + \int\limits_0^{2\pi } {\cos xdx} = 2.\frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}2\pi \\0\end{array} \right. + \sin x\left| \begin{array}{l}2\pi \\0\end{array} \right.\)
\( = {\left( {2\pi } \right)^2} - 0 + \sin 2\pi - \sin 0 = 4{\pi ^2}\)
b) \(\int\limits_1^2 {\left( {{3^x} - \frac{3}{x}} \right)dx} = \int\limits_1^2 {{3^x}dx} - 3\int\limits_1^2 {\frac{1}{x}dx} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. - 3\ln \left| x \right|\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. = \frac{1}{{\ln 3}}\left( {{3^2} - {3^1}} \right) - 3\ln 2 + 3\ln 1\)
\( = \frac{6}{{\ln 3}} - 3\ln 2\)
c) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} - \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = \tan x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{3}\\\frac{\pi }{6}\end{array} \right. + \cot x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{3}\\\frac{\pi }{6}\end{array} \right.} \)
\( = \tan \frac{\pi }{3} - \tan \frac{\pi }{6} + \cot \frac{\pi }{3} - \cot \frac{\pi }{6} = \sqrt 3 - \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{3} - \sqrt 3 = 0\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 17 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tính \(\int\limits_0^3 {\left| {2x - 3} \right|dx} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tính chất của tích phân để tính: Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \) \(\left( {a < c < b} \right)\).
Lời giải chi tiết:
\(\int\limits_0^3 {\left| {2x - 3} \right|dx} = \int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left| {2x - 3} \right|dx} + \int\limits_{\frac{3}{2}}^3 {\left| {2x - 3} \right|dx} = \int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left( {3 - 2x} \right)dx} + \int\limits_{\frac{3}{2}}^3 {\left( {2x - 3} \right)dx} \)
\( = \left( {3x - {x^2}} \right)\left| \begin{array}{l}\frac{3}{2}\\0\end{array} \right. + \left( {{x^2} - 3x} \right)\left| \begin{array}{l}3\\\frac{3}{2}\end{array} \right. = \left[ {\left( {\frac{9}{2} - \frac{9}{4}} \right) - 0} \right] + \left[ {\left( {{3^2} - 3.3} \right) - \left( {\frac{9}{4} - \frac{9}{2}} \right)} \right] = \frac{9}{2}\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 17 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x) trên đoạn [a; b] được định nghĩa là \(\frac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \). Giả sử nhiệt độ (tính bằng \(^oC\)) tại thời điểm t giờ trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa ở một địa phương vào một ngày nào đó được mô hình hóa bởi hàm số \(T\left( t \right) = 20 + 1,5\left( {t - 6} \right),6 \le t \le 12\). Tìm nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số \(F\left( b \right) - F\left( a \right)\) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)
Lời giải chi tiết:
Nhiệt độ trung bình vào ngày đó từ khoảng thời gian 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa là:
\(\frac{1}{{12 - 6}}\int\limits_6^{12} {\left[ {20 + 1,5\left( {t - 6} \right)} \right]dt} = \frac{1}{6}\int\limits_6^{12} {\left( {11 + 1,5t} \right)dt = \frac{1}{6}\left( {11t + \frac{3}{4}{t^2}} \right)\left| \begin{array}{l}12\\6\end{array} \right.} \)
\( = \frac{1}{6}\left[ {\left( {11.12 + \frac{3}{4}{{.12}^2}} \right) - \left( {11.6 + \frac{3}{4}{{.6}^2}} \right)} \right] = 24,{5^0}C\)
Vậy nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa là \(24,{5^0}C\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 17 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x) trên đoạn [a; b] được định nghĩa là \(\frac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \). Giả sử nhiệt độ (tính bằng \(^oC\)) tại thời điểm t giờ trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa ở một địa phương vào một ngày nào đó được mô hình hóa bởi hàm số \(T\left( t \right) = 20 + 1,5\left( {t - 6} \right),6 \le t \le 12\). Tìm nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số \(F\left( b \right) - F\left( a \right)\) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)
Lời giải chi tiết:
Nhiệt độ trung bình vào ngày đó từ khoảng thời gian 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa là:
\(\frac{1}{{12 - 6}}\int\limits_6^{12} {\left[ {20 + 1,5\left( {t - 6} \right)} \right]dt} = \frac{1}{6}\int\limits_6^{12} {\left( {11 + 1,5t} \right)dt = \frac{1}{6}\left( {11t + \frac{3}{4}{t^2}} \right)\left| \begin{array}{l}12\\6\end{array} \right.} \)
\( = \frac{1}{6}\left[ {\left( {11.12 + \frac{3}{4}{{.12}^2}} \right) - \left( {11.6 + \frac{3}{4}{{.6}^2}} \right)} \right] = 24,{5^0}C\)
Vậy nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa là \(24,{5^0}C\).
Mục 2 của chương trình Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức tập trung vào các kiến thức về đạo hàm của hàm số. Cụ thể, các bài tập trang 16, 17 thường xoay quanh việc tính đạo hàm của các hàm số đơn giản, hàm hợp, và ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số. Việc nắm vững các quy tắc tính đạo hàm và hiểu rõ ý nghĩa của đạo hàm là rất quan trọng để giải quyết các bài tập trong mục này.
Bài tập này yêu cầu học sinh áp dụng các quy tắc tính đạo hàm cơ bản như đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số logarit, và quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số. Ví dụ, để tính đạo hàm của hàm số f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1, ta sử dụng quy tắc đạo hàm của tổng và đạo hàm của hàm số lũy thừa để có f'(x) = 3x^2 + 4x - 5.
Bài tập này yêu cầu học sinh áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp: (u(v(x)))' = u'(v(x)) * v'(x). Ví dụ, để tính đạo hàm của hàm số f(x) = sin(x^2), ta đặt u(v) = sin(v) và v(x) = x^2. Khi đó, u'(v) = cos(v) và v'(x) = 2x. Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, ta có f'(x) = cos(x^2) * 2x = 2x * cos(x^2).
Bài tập này yêu cầu học sinh tính đạo hàm bậc hai của hàm số, tức là đạo hàm của đạo hàm bậc nhất. Ví dụ, nếu f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1, thì f'(x) = 3x^2 + 4x - 5 và f''(x) = 6x + 4.
Để xét tính đơn điệu của hàm số, ta cần tìm đạo hàm f'(x) và xét dấu của f'(x) trên các khoảng xác định của hàm số. Nếu f'(x) > 0 trên một khoảng, hàm số đồng biến trên khoảng đó. Nếu f'(x) < 0 trên một khoảng, hàm số nghịch biến trên khoảng đó. Ví dụ, xét hàm số f(x) = x^2. Ta có f'(x) = 2x. Trên khoảng (0, +∞), f'(x) > 0, do đó hàm số đồng biến trên khoảng này. Trên khoảng (-∞, 0), f'(x) < 0, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng này.
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5.
Giải:
f'(x) = 12x^3 - 4x
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = cos(2x + 1).
Giải:
f'(x) = -sin(2x + 1) * 2 = -2sin(2x + 1)
Việc giải các bài tập trong mục 2 trang 16, 17 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức đòi hỏi sự nắm vững kiến thức về đạo hàm và khả năng áp dụng các quy tắc tính đạo hàm một cách linh hoạt. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các ví dụ minh họa trong bài viết này, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài tập Toán 12.
