Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách giải bài tập 1.11 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập tốt nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong các kỳ thi.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: a) (y = {x^4} - 2{x^2} + 3); b) (y = x.{e^{ - x}}); c) (y = xln x); d) (y = sqrt {x - 1} + sqrt {3 - x} ).
Đề bài
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) \(y = {x^4} - 2{x^2} + 3\);
b) \(y = x.{e^{ - x}}\);
c) \(y = x\ln x\);
d) \(y = \sqrt {x - 1} + \sqrt {3 - x} \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn để tính: Giả sử \(y = f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) mà đạo hàm \(f'\left( x \right) = 0\).
Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):
1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...{x_n} \in \left( {a;b} \right)\), tại đó \(f'\left( x \right) = 0\) hoặc không tồn tại.
2. Tính \(f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right)\), f(a) và f(b).
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
Ta có: \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\)
Lời giải chi tiết
a) \(y = {x^4} - 2{x^2} + 3\)
\(y' = 4{x^3} - 4x,y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\end{array} \right.\)
\(y\left( 0 \right) = 3;y\left( 1 \right) = y\left( { - 1} \right) = 2\)
Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ; + \infty } \right)} y = y\left( 1 \right) = y\left( { - 1} \right) = 2\), hàm số không có giá trị lớn nhất.
b) Ta có: \(y' = {e^{ - x}} - x.{e^{ - x}},y' = 0 \Leftrightarrow {e^{ - x}} - x.{e^{ - x}} = 0 \Leftrightarrow {e^{ - x}}\left( {1 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Bảng biến thiên:
Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left( { - \infty ; + \infty } \right)} y = y\left( 1 \right) = \frac{1}{e}\), hàm số không có giá trị nhỏ nhất.
c) Tập xác định của hàm số là: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)
\(y' = \ln x + x.\frac{1}{x} = \ln x + 1,y' = 0 \Leftrightarrow \ln x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{e}\) (thỏa mãn)
Bảng biến thiên:
Hàm số không có giá trị lớn nhất, \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = y\left( {\frac{1}{e}} \right) = \frac{{ - 1}}{e}\)
d) Tập xác định của hàm số là \(\left[ {1;3} \right]\).
\(y' = \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} - \frac{1}{{2\sqrt {3 - x} }},y' = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} - \frac{1}{{2\sqrt {3 - x} }} = 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {3 - x} - \sqrt {x - 1} }}{{2\sqrt {3 - x} \sqrt {x - 1} }} = 0\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {3 - x} = \sqrt {x - 1} \Leftrightarrow 3 - x = x - 1 \Leftrightarrow x = 2\left( {tm} \right)\)
\(y\left( 1 \right) = \sqrt 2 ;y\left( 2 \right) = 2;y\left( 3 \right) = \sqrt 2 \)
Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = y\left( 2 \right) = 2,\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = y\left( 1 \right) = y\left( 3 \right) = \sqrt 2 \)
Bài tập 1.11 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức thuộc chương 1: Hàm số và đồ thị. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về điều kiện xác định của hàm số, các phép toán trên hàm số và cách biểu diễn hàm số bằng đồ thị để giải quyết các bài toán cụ thể.
Bài tập 1.11 bao gồm các câu hỏi liên quan đến việc xác định tập xác định của hàm số, thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia hai hàm số và tìm tập xác định của hàm số mới sau phép toán. Ngoài ra, bài tập còn yêu cầu học sinh vẽ đồ thị của hàm số và phân tích các yếu tố của đồ thị như khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị, điểm uốn.
Để giải quyết bài tập 1.11 một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Câu a: Xác định tập xác định của hàm số y = √(2x - 1)
Để hàm số y = √(2x - 1) xác định, điều kiện là 2x - 1 ≥ 0. Giải bất phương trình này, ta được x ≥ 1/2. Vậy tập xác định của hàm số là D = [1/2, +∞).
Câu b: Cho hàm số f(x) = x + 1 và g(x) = x2 - 1. Tính (f + g)(x) và (f - g)(x).
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = (x + 1) + (x2 - 1) = x2 + x
(f - g)(x) = f(x) - g(x) = (x + 1) - (x2 - 1) = -x2 + x + 2
Câu c: Cho hàm số f(x) = 1/x và g(x) = x + 1. Tính (f * g)(x) và (f / g)(x).
(f * g)(x) = f(x) * g(x) = (1/x) * (x + 1) = (x + 1) / x
(f / g)(x) = f(x) / g(x) = (1/x) / (x + 1) = 1 / (x(x + 1))
Hãy tự giải các bài tập tương tự để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán. Bạn có thể tìm thêm các bài tập trong SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức hoặc trên các trang web học toán online.
Bài tập 1.11 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về điều kiện xác định của hàm số, các phép toán trên hàm số và cách biểu diễn hàm số bằng đồ thị. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải hiệu quả mà giaibaitoan.com cung cấp, bạn sẽ tự tin hơn trong việc học tập môn Toán.
