Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 của giaibaitoan.com. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 1 trang 20, 21 sách giáo khoa Toán 12 tập 1 chương trình Kết nối tri thức.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong môn học Toán.
Đường tiệm cận ngang
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 21 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận ngang: Đường thẳng \(y = {y_0}\) gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 - \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{1}{x}}} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 - \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{1}{x}}} = 2\).
Do đó, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) là \(y = 2\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 20 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{x}\) có đồ thị (C). Với \(x > 0\), xét điểm M (x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng \(y = 2\) (H.1.19).
a) Tính khoảng cách MH.
b) Có nhận xét gì về khoảng cách MH khi \(x \to + \infty \)?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về giới hạn của hàm số để tính.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(M\left( {x;\frac{{2x + 1}}{x}} \right)\); \(H\left( {x;2} \right)\).
Do đó, \(MH = \sqrt {{{\left( {x - x} \right)}^2} + {{\left( {2 - \frac{{2x + 1}}{x}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{2x - 2x - 1}}{x}} \right)}^2}} = \frac{1}{x}\) (do \(x > 0\))
b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x} = 0\). Do đó, khi \(x \to + \infty \) thì \(MH \to 0\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 21 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Giải bài toán trong tình huống mở đầu.
Giả sử khối lượng còn lại của một chất phóng xạ (gam) sau t ngày phân rã được cho bởi hàm số \(m\left( t \right) = 15{e^{ - 0,012t}}\). Khối lượng m(t) thay đổi ra sao khi \(t \to + \infty \)? Điều này thể hiện trên Hình 1.18 như thế nào?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận ngang: Đường thẳng \(y = {y_0}\) gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } m\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } 15{e^{ - 0,012t}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{15}}{{{e^{0,012t}}}} = 0\)
Do đó, \(m\left( t \right) \to 0\) khi \(t \to + \infty \).
Trong hình 1.18, khi \(t \to + \infty \) thì m(t) càng gần trục hoành Ot (nhưng không chạm trục Ot).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 20 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{x}\) có đồ thị (C). Với \(x > 0\), xét điểm M (x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng \(y = 2\) (H.1.19).
a) Tính khoảng cách MH.
b) Có nhận xét gì về khoảng cách MH khi \(x \to + \infty \)?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về giới hạn của hàm số để tính.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(M\left( {x;\frac{{2x + 1}}{x}} \right)\); \(H\left( {x;2} \right)\).
Do đó, \(MH = \sqrt {{{\left( {x - x} \right)}^2} + {{\left( {2 - \frac{{2x + 1}}{x}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{2x - 2x - 1}}{x}} \right)}^2}} = \frac{1}{x}\) (do \(x > 0\))
b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x} = 0\). Do đó, khi \(x \to + \infty \) thì \(MH \to 0\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 21 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận ngang: Đường thẳng \(y = {y_0}\) gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 - \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{1}{x}}} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 - \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{1}{x}}} = 2\).
Do đó, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) là \(y = 2\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 21 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Giải bài toán trong tình huống mở đầu.
Giả sử khối lượng còn lại của một chất phóng xạ (gam) sau t ngày phân rã được cho bởi hàm số \(m\left( t \right) = 15{e^{ - 0,012t}}\). Khối lượng m(t) thay đổi ra sao khi \(t \to + \infty \)? Điều này thể hiện trên Hình 1.18 như thế nào?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận ngang: Đường thẳng \(y = {y_0}\) gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } m\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } 15{e^{ - 0,012t}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{15}}{{{e^{0,012t}}}} = 0\)
Do đó, \(m\left( t \right) \to 0\) khi \(t \to + \infty \).
Trong hình 1.18, khi \(t \to + \infty \) thì m(t) càng gần trục hoành Ot (nhưng không chạm trục Ot).
Mục 1 của chương trình Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức tập trung vào việc ôn tập và mở rộng kiến thức về hàm số và đồ thị. Các bài tập trong trang 20 và 21 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế, đồng thời rèn luyện kỹ năng tư duy logic và phân tích.
Bài tập này yêu cầu học sinh xác định các yếu tố của hàm số bậc hai (hệ số a, b, c), tìm đỉnh của parabol, trục đối xứng, và vẽ đồ thị hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các công thức và phương pháp liên quan đến hàm số bậc hai.
Bài tập này yêu cầu học sinh giải các phương trình và bất phương trình mũ và logarit. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các tính chất của hàm số mũ và hàm số logarit, đồng thời sử dụng các phương pháp biến đổi tương đương.
Bài tập này yêu cầu học sinh giải các bài toán thực tế liên quan đến hàm số mũ và hàm số logarit, ví dụ như bài toán về sự tăng trưởng dân số, bài toán về phóng xạ, bài toán về lãi kép. Để giải bài tập này, học sinh cần hiểu rõ ý nghĩa của hàm số mũ và hàm số logarit trong các bài toán thực tế.
Để giải bài tập Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức một cách hiệu quả, các em cần:
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và những lời khuyên trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập mục 1 trang 20, 21 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
| Bài tập | Nội dung chính | Phương pháp giải |
|---|---|---|
| Bài 1 | Hàm số bậc hai | Xác định hệ số, tìm đỉnh, vẽ đồ thị |
| Bài 2 | Hàm số mũ và logarit | Giải phương trình, bất phương trình |
| Bài 3 | Ứng dụng hàm số | Giải bài toán thực tế |
