Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 13 trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào việc sử dụng tích phân để tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục tọa độ. Đây là một ứng dụng quan trọng của tích phân trong hình học, giúp giải quyết nhiều bài toán thực tế.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Để tính diện tích hình phẳng, ta sử dụng công thức:

Diện tích S = ∫_a^b |f(x)| dx

Trong đó:

• f(x) là hàm số xác định trên đoạn [a, b]
• a và b là hai điểm giới hạn của đoạn thẳng trên trục hoành

Lưu ý: Nếu f(x) đổi dấu trên đoạn [a, b], ta cần chia đoạn này thành các đoạn nhỏ hơn, trên mỗi đoạn f(x) không đổi dấu, rồi tính diện tích trên từng đoạn và cộng lại.

II. Giải bài tập SGK Toán 12 Kết nối tri thức Bài 13

Bài 13.1

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x² và y = 4.

Lời giải:

Giao điểm của hai đường là nghiệm của phương trình x² = 4, suy ra x = -2 và x = 2.

Diện tích hình phẳng là:

S = ∫_-2² (4 - x²) dx = [4x - (x³/3)]_-2² = (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 16 - 16/3 = 32/3

Bài 13.2

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = sin(x) và trục Ox trên đoạn [0, π].

Lời giải:

Vì sin(x) ≥ 0 trên đoạn [0, π], ta có:

S = ∫₀^π sin(x) dx = [-cos(x)]₀^π = -cos(π) - (-cos(0)) = 1 + 1 = 2

Bài 13.3

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x³ và y = x.

Lời giải:

Giao điểm của hai đường là nghiệm của phương trình x³ = x, suy ra x = -1, x = 0 và x = 1.

Trên đoạn [-1, 0], x³ ≥ x, do đó diện tích là:

S₁ = ∫_-1⁰ (x³ - x) dx = [(x⁴/4) - (x²/2)]_-1⁰ = 0 - (1/4 - 1/2) = 1/4

Trên đoạn [0, 1], x ≥ x³, do đó diện tích là:

S₂ = ∫₀¹ (x - x³) dx = [(x²/2) - (x⁴/4)]₀¹ = 1/2 - 1/4 = 1/4

Tổng diện tích là S = S₁ + S₂ = 1/4 + 1/4 = 1/2

III. Các dạng bài tập thường gặp

1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong.
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục tọa độ.
3. Tính diện tích hình phẳng được tạo bởi nhiều đường cong.

IV. Mẹo giải bài tập hiệu quả

• Xác định chính xác các giao điểm của các đường cong.
• Phân tích hàm số để xác định khoảng nào hàm số dương, âm.
• Sử dụng công thức tích phân để tính diện tích.
• Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

Hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn chi tiết trên, các bạn học sinh có thể tự tin giải quyết các bài tập về ứng dụng hình học của tích phân trong SGK Toán 12 Kết nối tri thức. Chúc các bạn học tập tốt!