Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 4 trong chương trình Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức là một bước quan trọng trong việc nắm vững phương pháp nghiên cứu hàm số. Bài học này trang bị cho học sinh những công cụ cần thiết để phân tích và biểu diễn đồ thị của các hàm số, từ đó hiểu rõ hơn về tính chất và hành vi của chúng.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một hàm số, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Xác định tập xác định: Tìm khoảng mà hàm số có nghĩa.
Tính đạo hàm cấp nhất: Tính f'(x) và tìm các điểm tới hạn (điểm mà f'(x) = 0 hoặc không xác định).
Khảo sát sự biến thiên:

Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số dựa vào dấu của f'(x).
Tìm cực trị của hàm số (cực đại, cực tiểu).

Tính đạo hàm cấp hai: Tính f''(x) và tìm điểm uốn.
Khảo sát tính lồi, lõm: Xác định khoảng lồi và lõm của hàm số dựa vào dấu của f''(x).
Tìm tiệm cận: Xác định tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên (nếu có).
Lập bảng biến thiên: Tổng hợp các thông tin đã thu thập được vào bảng biến thiên.
Vẽ đồ thị: Dựa vào bảng biến thiên và các thông tin khác để vẽ đồ thị của hàm số.

II. Phương pháp giải bài tập

Khi giải các bài tập về khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, cần chú ý:

Đọc kỹ đề bài: Xác định rõ hàm số cần khảo sát và các yêu cầu của bài toán.
Áp dụng đúng các bước: Thực hiện đầy đủ các bước khảo sát theo trình tự đã nêu.
Kiểm tra kết quả: So sánh đồ thị vẽ được với bảng biến thiên và các thông tin đã tính toán.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x³ - 3x² + 2.

Giải:

Tập xác định: D = R
Đạo hàm cấp nhất: y' = 3x² - 6x
Điểm tới hạn: y' = 0 ⇔ 3x² - 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
Bảng biến thiên:

x	-∞	0	2	+∞
y'	+	-	+
y	↗	↘	↗

Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_max = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2, y_min = -2.
Đạo hàm cấp hai: y'' = 6x - 6
Điểm uốn: y'' = 0 ⇔ x = 1
Tính lồi, lõm: Hàm số lõm trên (-∞; 1) và lồi trên (1; +∞).
Tiệm cận: Hàm số không có tiệm cận.
Đồ thị: (Vẽ đồ thị dựa trên các thông tin đã tính toán)

IV. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x⁴ - 4x² + 3.
Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = (x - 1)²(x + 2).
Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = 1/(x - 2).

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cần thiết để giải quyết Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số - SGK Toán 12 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!