Bài 11. Nguyên hàm

Bài 11. Nguyên hàm - SGK Toán 12 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Bài 11 trong SGK Toán 12 Kết nối tri thức tập 2 tập trung vào việc tìm hiểu khái niệm nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm và các phương pháp tìm nguyên hàm của một hàm số. Đây là nền tảng quan trọng để học tập chương trình tích phân trong Toán học.

1. Khái niệm Nguyên hàm

Một hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng I nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc I. Ký hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C, trong đó C là hằng số tích phân.

2. Các Tính chất của Nguyên hàm

• Tính chất 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) với mọi hằng số C.
• Tính chất 2: ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
• Tính chất 3: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx (với k là hằng số)

3. Nguyên hàm của một số hàm số cơ bản

Dưới đây là bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:

4. Phương pháp tìm Nguyên hàm

a. Phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp này được sử dụng khi biểu thức dưới dấu tích phân có dạng phức tạp. Ta đặt u = g(x), suy ra du = g'(x)dx và biến đổi tích phân về dạng đơn giản hơn.

b. Phương pháp tích phân từng phần

Sử dụng công thức: ∫u dv = uv - ∫v du. Chọn u và dv sao cho tích phân ∫v du dễ tính hơn.

5. Bài tập Vận dụng

Bài 1: Tính ∫(2x + 1)dx

Giải: ∫(2x + 1)dx = ∫2xdx + ∫1dx = 2∫xdx + ∫dx = 2(x²/2) + x + C = x² + x + C

Bài 2: Tính ∫xcos(x)dx

Giải: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Đặt u = x, dv = cos(x)dx. Suy ra du = dx, v = sin(x). Vậy ∫xcos(x)dx = xsin(x) - ∫sin(x)dx = xsin(x) + cos(x) + C

6. Lưu ý quan trọng

• Luôn thêm hằng số tích phân C khi tìm nguyên hàm.
• Kiểm tra lại kết quả bằng cách lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được, xem có bằng hàm số ban đầu hay không.
• Luyện tập thường xuyên để nắm vững các phương pháp tìm nguyên hàm.

Hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn chi tiết trên, các em sẽ hiểu rõ hơn về Bài 11. Nguyên hàm - SGK Toán 12 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!