Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 tại giaibaitoan.com. Chúng tôi xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 2 trang 6, 7, 8 sách giáo khoa Toán 12 tập 2 chương trình Kết nối tri thức.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
Tính chất cơ bản của nguyên hàm
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 7 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^n}\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\).
a) Chứng minh rằng hàm số \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}\) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Từ đó tìm \(\int {{x^n}dx} \).
b) Từ kết quả câu a, tìm \(\int {k{x^n}dx} \) (với k là hằng số thực khác 0).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để chứng minh: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K.
Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để tính: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó \(\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \), C là hằng số.
Sử dụng tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: \(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(F'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right)'} = \frac{{\left( {n + 1} \right){x^n}}}{{n + 1}} = {x^n} = f\left( x \right)\) nên hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Do đó, \(\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).
b) \(\int {k{x^n}dx} = k\int {{x^n}dx} = \frac{{k.{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là một hằng số khác 0. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K.
a) Chứng minh rằng kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.
b) Nêu nhận xét về \(\int {kf\left( x \right)dx} \) và \(k\int {f\left( x \right)dx} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để chứng minh: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K.
Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để tính: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó \(\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \), C là hằng số.
Lời giải chi tiết:
a) Vì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K nên \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) nên \(kF'\left( x \right) = kf\left( x \right)\) (với k khác 0). Do đó, kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.
b) Ta có: \(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 7 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm:
a) \(\int {\left( {3{x^2} + 1} \right)dx} \);
b) \(\int {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}dx} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: \(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \)
Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính: \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } \), \(\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } \)
Lời giải chi tiết:
a) \(\int {\left( {3{x^2} + 1} \right)dx} = 3\int {{x^2}dx + \int {1dx = {x^3} + x + C} } \);
b) \(\int {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}dx} = \int {\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)dx = 4\int {{x^2}dx - 4\int {xdx + \int {dx = \frac{{4{x^3}}}{3} - 2{x^2} + x + C} } } } \).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 7 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên K. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(x) là một nguyên hàm của g(x) trên K.
a) Chứng minh rằng \(F\left( x \right) + G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) + g\left( x \right)\) trên K.
b) Nêu nhận xét về \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx\) và \(\int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để chứng minh: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K.
Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để tính: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó \(\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \), C là hằng số.
Lời giải chi tiết:
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 8 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Doanh thu bán hàng của một công ty khi bán một loại sản phẩm là số tiền R(x) (triệu đồng) thu được khi x đơn vị sản phẩm được bán ra. Tốc độ biến động (thay đổi) của doanh thu khi x đơn vị sản phẩm đã được bán là hàm số \({M_R}\left( x \right) = R'\left( x \right)\). Một công ty công nghệ cho biết, tốc độ biến đổi doanh thu khi bán một loại con chíp của hãng được cho bởi \({M_R}\left( x \right) = 300 - 0,1x\), ở đó x là số lượng chíp đã bán ra. Tìm doanh thu của công ty khi đã bán 1 000 con chíp.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số để tính: Vì \({M_R}\left( x \right) = R'\left( x \right)\) nên doanh thu R(x) là một nguyên hàm của \({M_R}\left( x \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\int {{M_R}\left( x \right)dx = \int {\left( {300 - 0,1x} \right)dx = 300\int {dx - 0,1\int {xdx = 300x - 0,05{x^2} + C} } } } \)
Do đó, \(R\left( x \right) = 300x - 0,05{x^2} + C\)
Ta có: \(R\left( 0 \right) = 0\) nên \(C = 0\). Do đó, \(R\left( x \right) = 300x - 0,05{x^2}\)
Doanh thu của công ty khi đã bán 1 000 con chíp là: \(R\left( {1000} \right) = 300.1000 - 0,{05.1000^2} = 250\;000\) (triệu đồng)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là một hằng số khác 0. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K.
a) Chứng minh rằng kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.
b) Nêu nhận xét về \(\int {kf\left( x \right)dx} \) và \(k\int {f\left( x \right)dx} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để chứng minh: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K.
Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để tính: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó \(\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \), C là hằng số.
Lời giải chi tiết:
a) Vì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K nên \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) nên \(kF'\left( x \right) = kf\left( x \right)\) (với k khác 0). Do đó, kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.
b) Ta có: \(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 7 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^n}\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\).
a) Chứng minh rằng hàm số \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}\) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Từ đó tìm \(\int {{x^n}dx} \).
b) Từ kết quả câu a, tìm \(\int {k{x^n}dx} \) (với k là hằng số thực khác 0).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để chứng minh: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K.
Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để tính: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó \(\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \), C là hằng số.
Sử dụng tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: \(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(F'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right)'} = \frac{{\left( {n + 1} \right){x^n}}}{{n + 1}} = {x^n} = f\left( x \right)\) nên hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Do đó, \(\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).
b) \(\int {k{x^n}dx} = k\int {{x^n}dx} = \frac{{k.{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 7 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên K. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(x) là một nguyên hàm của g(x) trên K.
a) Chứng minh rằng \(F\left( x \right) + G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) + g\left( x \right)\) trên K.
b) Nêu nhận xét về \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx\) và \(\int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để chứng minh: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K.
Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để tính: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó \(\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \), C là hằng số.
Lời giải chi tiết:
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 7 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm:
a) \(\int {\left( {3{x^2} + 1} \right)dx} \);
b) \(\int {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}dx} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: \(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \)
Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính: \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } \), \(\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } \)
Lời giải chi tiết:
a) \(\int {\left( {3{x^2} + 1} \right)dx} = 3\int {{x^2}dx + \int {1dx = {x^3} + x + C} } \);
b) \(\int {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}dx} = \int {\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)dx = 4\int {{x^2}dx - 4\int {xdx + \int {dx = \frac{{4{x^3}}}{3} - 2{x^2} + x + C} } } } \).
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 8 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Doanh thu bán hàng của một công ty khi bán một loại sản phẩm là số tiền R(x) (triệu đồng) thu được khi x đơn vị sản phẩm được bán ra. Tốc độ biến động (thay đổi) của doanh thu khi x đơn vị sản phẩm đã được bán là hàm số \({M_R}\left( x \right) = R'\left( x \right)\). Một công ty công nghệ cho biết, tốc độ biến đổi doanh thu khi bán một loại con chíp của hãng được cho bởi \({M_R}\left( x \right) = 300 - 0,1x\), ở đó x là số lượng chíp đã bán ra. Tìm doanh thu của công ty khi đã bán 1 000 con chíp.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số để tính: Vì \({M_R}\left( x \right) = R'\left( x \right)\) nên doanh thu R(x) là một nguyên hàm của \({M_R}\left( x \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\int {{M_R}\left( x \right)dx = \int {\left( {300 - 0,1x} \right)dx = 300\int {dx - 0,1\int {xdx = 300x - 0,05{x^2} + C} } } } \)
Do đó, \(R\left( x \right) = 300x - 0,05{x^2} + C\)
Ta có: \(R\left( 0 \right) = 0\) nên \(C = 0\). Do đó, \(R\left( x \right) = 300x - 0,05{x^2}\)
Doanh thu của công ty khi đã bán 1 000 con chíp là: \(R\left( {1000} \right) = 300.1000 - 0,{05.1000^2} = 250\;000\) (triệu đồng)
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức thường tập trung vào một chủ đề cụ thể trong chương trình học. Để giải quyết các bài tập trong mục này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững lý thuyết, công thức và phương pháp giải liên quan. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho từng bài tập trang 6, 7, 8, đồng thời phân tích các điểm quan trọng cần lưu ý.
Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần xác định rõ nội dung chính của Mục 2. Thông thường, mục này sẽ đề cập đến một trong các chủ đề sau:
Tùy thuộc vào chương trình học cụ thể, nội dung của Mục 2 có thể khác nhau. Tuy nhiên, mục tiêu chung là giúp học sinh hiểu sâu sắc và vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học vào giải quyết các bài toán thực tế.
Giả sử bài tập yêu cầu tính đạo hàm của hàm số f(x) = x^2 + 2x + 1. Lời giải:
f'(x) = 2x + 2
Giải thích: Sử dụng quy tắc đạo hàm của tổng và đạo hàm của hàm số lũy thừa.
Giả sử bài tập yêu cầu tìm cực trị của hàm số f(x) = x^3 - 3x + 2. Lời giải:
Kết luận: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 với giá trị là 0 và đạt cực đại tại x = -1 với giá trị là 4.
(Tương tự như trang 6, giải chi tiết từng bài tập với lời giải rõ ràng và dễ hiểu)
(Tương tự như trang 6 và 7, giải chi tiết từng bài tập với lời giải rõ ràng và dễ hiểu)
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể trong bài viết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập trong Mục 2 trang 6, 7, 8 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!
