Phương sai và độ lệch chuẩn là những khái niệm quan trọng trong thống kê, giúp đo lường mức độ phân tán của một tập dữ liệu. Trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, việc nắm vững lý thuyết này là nền tảng để giải quyết các bài toán thực tế và nâng cao khả năng phân tích dữ liệu.
Giaibaitoan.com cung cấp bài giảng chi tiết, dễ hiểu cùng với các bài tập có đáp án, giúp bạn tự tin chinh phục kiến thức về Phương sai và độ lệch chuẩn.
1. Phương sai và độ lệch chuẩn
1. Phương sai và độ lệch chuẩn
Cho mẫu số liệu ghép nhóm:
trong đó các tần số \({m_1} > 0,{m_k} > 0\) và \(n = {m_1} + ... + {m_k}\) là cỡ mẫu
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s2 , là một số được tính theo công thức sau: \[{s^2} = \frac{{m{{({x_1} - \overline x )}^2} + ... + {m_k}{{({x_k} - \overline x )}^2}}}{n}\] Trong đó, \(n = {m_1} + ... + {m_k}\); \({x_i} = \frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}\) với I = 1,2,…,k là giá trị đại diện cho nhóm \(\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)\) và \(\overline x = \frac{{{m_1}{x_1} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}\) là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là \(s = \sqrt {{s^2}} \). |
Ý nghĩa: Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. Chúng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu đó. Phương sai, độ lệch chuẩn càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán
2. Sử dụng phương sai, độ lệch chuẩn đo độ rủi ro
Ví dụ: Anh An đầu tư số tiền bằng nhau vào hai lĩnh vực kinh doanh A, B. Anh An thống kê số tiền thu được mỗi tháng trong vòng 60 ngày theo mỗi lĩnh vực có kết quả như sau:
So sánh giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của số tiền thu được mỗi tháng khi đầu tư vào mỗi lĩnh vực A, B. Đầu tư vào lĩnh vực nào “rủi ro” hơn?
Giải:
Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu ta có:
Số tiền trung bình thu được khi đầu tư vào các lĩnh vực A, B tương ứng là:
\(\overline {{x_A}} = \frac{1}{{60}}(5.7,5 + ... + 5.27,5) = 17,5\) (triệu đồng)
\(\overline {{x_B}} = \frac{1}{{60}}(20.7,5 + ... + 20.27,5) = 17,5\) (triệu đồng)
Như vậy, về trung bình đầu tư vào các lĩnh vực A, B số tiền thu được hàng tháng như nhau
Độ lệch chuẩn của số tiền thu được hàng tháng khi đầu tư vào các lĩnh vực A, B tương ứng là:
\({s_A} = \sqrt {\frac{1}{{60}}(5.7,{5^2} + ... + 5.27,{5^2} - 17,{5^2}} = 5\)
\({s_B} = \sqrt {\frac{1}{{60}}(20.7,{5^2} + ... + 20.27,{5^2} - 17,{5^2}} \approx 8,42\)
Như vậy, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về số tiền thu được hàng tháng khi đầu tư vào lĩnh vực B cao hơn khi đầu tư vào lĩnh vực A. Người ta nói rằng, đầu tư vào lĩnh vực B là “rủi ro” hơn
Trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, Phương sai và độ lệch chuẩn đóng vai trò then chốt trong việc phân tích thống kê. Chúng cung cấp thông tin quan trọng về mức độ biến động của một tập dữ liệu, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự phân bố của các giá trị.
Phương sai (Variance) là giá trị trung bình của bình phương độ lệch của mỗi giá trị trong tập dữ liệu so với giá trị trung bình của tập dữ liệu đó. Ký hiệu phương sai là σ2 (trong trường hợp tổng thể) hoặc s2 (trong trường hợp mẫu).
Công thức tính phương sai:
Độ lệch chuẩn (Standard Deviation) là căn bậc hai của phương sai. Ký hiệu độ lệch chuẩn là σ (trong trường hợp tổng thể) hoặc s (trong trường hợp mẫu). Độ lệch chuẩn cho biết mức độ phân tán của các giá trị trong tập dữ liệu so với giá trị trung bình.
Công thức tính độ lệch chuẩn:
Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn, các giá trị trong tập dữ liệu càng phân tán rộng. Ngược lại, phương sai và độ lệch chuẩn càng nhỏ, các giá trị trong tập dữ liệu càng tập trung gần giá trị trung bình.
Ví dụ:
| Tập dữ liệu | Giá trị trung bình | Phương sai | Độ lệch chuẩn |
|---|---|---|---|
| {1, 2, 3, 4, 5} | 3 | 2 | 1.41 |
| {1, 1, 1, 1, 1} | 1 | 0 | 0 |
Phương sai và độ lệch chuẩn được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:
Bài tập 1: Tính phương sai và độ lệch chuẩn của tập dữ liệu sau: {2, 4, 6, 8, 10}
Hướng dẫn:
Khi tính phương sai và độ lệch chuẩn, cần lưu ý:
Hy vọng với những kiến thức trên, bạn đã nắm vững lý thuyết về Phương sai và độ lệch chuẩn Toán 12 Kết nối tri thức. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán thực tế.
