Đường tiệm cận là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán 12, đặc biệt là khi nghiên cứu về đồ thị hàm số. Hiểu rõ lý thuyết đường tiệm cận giúp học sinh phân tích, vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác và giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ và chi tiết về lý thuyết đường tiệm cận, bao gồm định nghĩa, các loại đường tiệm cận và phương pháp tìm đường tiệm cận của các hàm số khác nhau.
1. Đường tiệm cận ngang
1. Đường tiệm cận ngang
Đường thẳng \(y = {y_0}\) gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = {y_0}\) |
Ví dụ: Tìm TCN của đồ thị hàm số \(y = f(x) = \frac{{3x - 2}}{{x + 1}}\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = 3\)
Vậy đồ thị hàm số f(x) có TCN là y = 3.
2. Đường tiệm cận đứng
Đường thẳng \(x = {x_0}\) gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = - \infty \); |
Ví dụ: Tìm TCĐ của đồ thị hàm số \(y = f(x) = \frac{{3 - x}}{{x + 2}}\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{3 - x}}{{x + 2}} = + \infty \)
Vậy đồ thị hàm số có TCĐ là x = -2
3.Đường tiệm cận xiên
Đường thẳng \(y = ax + b(a \ne 0)\) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\) |
Ví dụ: Tìm TCX của đồ thị hàm số \(y = f(x) = x + \frac{1}{{x + 2}}\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x + 2}} = 0\)
Vậy đồ thị hàm số có TCX là y = x
Đường tiệm cận là đường thẳng mà đồ thị của hàm số tiến gần vô cùng khi x hoặc y tiến đến một giá trị nhất định. Việc nắm vững lý thuyết này là nền tảng để hiểu sâu hơn về hành vi của đồ thị hàm số và giải quyết các bài toán liên quan.
Đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là đường thẳng mà khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị hàm số đến đường thẳng đó tiến tới 0 khi x hoặc y tiến tới vô cùng.
Có ba loại đường tiệm cận chính:
a. Tiệm cận đứng:
b. Tiệm cận ngang:
c. Tiệm cận xiên:
Ví dụ 1: Tìm đường tiệm cận của hàm số y = (2x + 1) / (x - 1).
Ví dụ 2: Tìm đường tiệm cận của hàm số y = x2 + 1 / x.
Hãy tìm đường tiệm cận của các hàm số sau:
Lý thuyết đường tiệm cận là một phần quan trọng của chương trình Toán 12. Việc nắm vững lý thuyết và phương pháp tìm đường tiệm cận sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả và hiểu sâu hơn về đồ thị hàm số. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.
