Lý thuyết Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto Toán 12 Kết nối tri thức

Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết biểu thức tọa độ của các phép toán vecto trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất về cách biểu diễn và thực hiện các phép toán với vecto trong hệ tọa độ.

Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về tọa độ của vecto, các phép toán cộng, trừ, nhân với một số thực, và đặc biệt là các phép toán tích vô hướng, tích có hướng được biểu diễn thông qua tọa độ như thế nào.

1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vecto, phép trừ hai vecto, phép nhân một số với một vecto

1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vecto, phép trừ hai vecto, phép nhân một số với một vecto

Các phép toán vecto cơ bản

Trong không gian Oxyz, cho hai vecto \(\overrightarrow a = (x;y;z)\) và \(\overrightarrow b = (x';y';z')\). Ta có:

\(\overrightarrow a + \overrightarrow b = (x + x';y + y';z + z')\)

\(\overrightarrow a - \overrightarrow b = (x - x';y - y';z - z')\)

\(k\overrightarrow a = (kx;ky;kz)\) với k là một số thực

Công thức tính tọa độ trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A({x_A};{y_A};{z_A}),B({x_B};{y_B};{z_B}),C({x_C};{y_C};{z_C})\). Khi đó:

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là \[\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\]

Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là \[\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\]

2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow a = (x;y;z)\) và \(\overrightarrow b = (x';y';z')\) được xác định bởi công thức \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = xx' + yy' + zz'\)

3. Vận dụng tọa độ của vecto trong một số bài toán có liên quan đến thực tiễn

Ví dụ: Trong không gian với một hệ trục cho trước (đơn vị đo km), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm A(800;500;7) đến điểm B (940;550;8) trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là gì?

Giải:

Gọi C(x;y;z) là vị trí của máy bay sau 5 phút tiếp theo. Vì hướng của máy bay không đổi nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng. Do vận tốc bay không đổi và thời gian bay từ A đến B gấp đôi thời gian bay từ B đến C nên AB = 2BC.

Do đó, \(\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {\frac{{940 - 800}}{2};\frac{{550 - 500}}{2};\frac{{8 - 7}}{2}} \right) = \left( {70;25;0,5} \right)\).

Mặt khác, \(\overrightarrow {BC} = (x - 940;y - 550;z - 8)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x - 940 = 70\\y - 550 = 25\\z - 8 = 0,5\end{array} \right.\).

Từ đó \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1010\\y = 575\\z = 8,5\end{array} \right.\) và vì vậy C(1010;575;8,5).

Vậy tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là (1010;575;8,5).

Lý thuyết Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto Toán 12 Kết nối tri thức 1

Chinh phục điểm cao Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán, rộng mở cánh cửa Đại học với nội dung Lý thuyết Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto Toán 12 Kết nối tri thức trong chuyên mục giải sgk toán 12 trên nền tảng soạn toán! Bộ bài tập toán trung học phổ thông, được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, cam kết tối ưu hóa toàn diện lộ trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn trang bị chiến thuật làm bài hiệu quả, tự tin đạt kết quả đột phá, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vững vàng vào đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, khoa học và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.

Lý thuyết Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto Toán 12 Kết nối tri thức

Trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, phần hình học vecto đóng vai trò quan trọng, đặc biệt là việc ứng dụng tọa độ để giải quyết các bài toán. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết về biểu thức tọa độ của các phép toán vecto, giúp học sinh nắm vững kiến thức và áp dụng hiệu quả vào giải bài tập.

1. Tọa độ của Vectơ

Một vectơ a trong không gian Oxyz được xác định bởi tọa độ a = (x; y; z), trong đó x, y, z là các số thực. x, y, z lần lượt là hoành độ, tung độ và cao độ của vectơ a.

2. Các Phép Toán Vectơ và Biểu Thức Tọa Độ

Phép cộng Vectơ: Cho hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂). Khi đó, a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂).
Phép trừ Vectơ: Cho hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂). Khi đó, a - b = (x₁ - x₂; y₁ - y₂; z₁ - z₂).
Phép nhân với một số thực: Cho vectơ a = (x; y; z) và số thực k. Khi đó, ka = (kx; ky; kz).

3. Tích Vô Hướng của Hai Vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂) được tính bằng công thức:

a ⋅ b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

Ứng dụng của tích vô hướng:

Tính góc giữa hai vectơ: cos(θ) = (a ⋅ b) / (| a | | b |)
Kiểm tra tính vuông góc: a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0

4. Tích Có Hướng của Hai Vectơ

Tích có hướng của hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂) được tính bằng công thức:

[a, b] = (y₁z₂ - z₁y₂; z₁x₂ - x₁z₂; x₁y₂ - y₁x₂)

Ứng dụng của tích có hướng:

Tính diện tích hình bình hành: S = |[a, b]|
Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ tích có hướng của hai vectơ nằm trong mặt phẳng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

5. Bài Tập Ví Dụ

Ví dụ 1: Cho a = (1; 2; 3) và b = (-2; 1; 0). Tính a + b và a ⋅ b.

Giải:

a + b = (1 - 2; 2 + 1; 3 + 0) = (-1; 3; 3)

a ⋅ b = (1)(-2) + (2)(1) + (3)(0) = -2 + 2 + 0 = 0

6. Lưu Ý Quan Trọng

Khi làm bài tập về biểu thức tọa độ của các phép toán vecto, cần chú ý:

Nắm vững công thức tính các phép toán cộng, trừ, nhân với một số thực, tích vô hướng và tích có hướng.
Hiểu rõ ứng dụng của các phép toán này trong việc giải quyết các bài toán hình học.
Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết về lý thuyết biểu thức tọa độ của các phép toán vecto Toán 12 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!