Bài tập 3.14 trang 86 SGK Toán 12 tập 1 thuộc chương trình học môn Toán lớp 12, sách Kết nối tri thức. Bài tập này thường xoay quanh các kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Để đánh giá chất lượng một loại pin điện thoại mới, người ta ghi lại thời gian nghe nhạc liên tục của điện thoại được sạc đầy pin cho đến khi hết pin cho kết quả như sau: Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Đề bài
Để đánh giá chất lượng một loại pin điện thoại mới, người ta ghi lại thời gian nghe nhạc liên tục của điện thoại được sạc đầy pin cho đến khi hết pin cho kết quả như sau:
Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm để tính:
Cho mẫu số liệu ghép nhóm:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \(R = {a_{k + 1}} - {a_1}\).
+Sử dụng kiến thức về tính chất về nhóm chứa tứ phân vị của mẫu số liệu để tính: Ta có thể xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ r nhờ tính chất: có khoảng \(\left( {\frac{{r.n}}{4}} \right)\) giá trị nhỏ hơn tứ phân vị này.
+ Sử dụng kiến thức về khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là \({\Delta _Q}\), là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) và tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu đó, tức là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\).
+ Sử dụng kiến thức về phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là \({s^2}\), là một số được tính theo công thức sau: \({s^2} = \frac{1}{n}\left( {{m_1}x_1^2 + ... + {m_k}x_k^2} \right) - {\left( {\overline x } \right)^2}\), trong đó \(n = {m_1} + ... + {m_k}\) với \(\overline x = \frac{{{m_1}{x_1} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}\) là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.
+ Sử dụng kiến thức độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là \(s = \sqrt {{s^2}} \).
Lời giải chi tiết
Khoảng biến thiên: \(R = 7,5 - 5 = 2,5\)
Cỡ mẫu: \(n = 2 + 8 + 15 + 10 + 5 = 40\)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: \(\frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}\), vì \({x_{10}} \in \left[ {5,5;6} \right),{x_{11}} \in \left[ {6;6,5} \right)\) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 6\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là: \(\frac{{{x_{30}} + {x_{31}}}}{2}\) thuộc nhóm \(\left[ {6,5;7} \right)\) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 6,5 + \frac{{\frac{{3.40}}{4} - \left( {2 + 8 + 15} \right)}}{{10}}.0,5 = 6,75\).
Khoảng biến thiên: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 6,75 - 6 = 0,75\)
Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu, ta có:
Thời gian trung bình nghe nhạc liên tục của điện thoại là: \(\overline x = \frac{1}{{40}}\left( {5,25.2 + 5,75.8 + 6,25.15 + 6,75.10 + 7,25.5} \right) = 6,35\)
Phương sai của mẫu số liệu là:
\({s^2} = \frac{1}{{40}}\left( {5,{{25}^2}.2 + 5,{{75}^2}.8 + 6,{{25}^2}.15 + 6,{{75}^2}.10 + 7,{{25}^2}.5} \right) - 6,{35^2} = 0,2775\)
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: \(\sqrt {0,2775} = \frac{{\sqrt {111} }}{{20}} \approx 0,53\)
Bài tập 3.14 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết một bài toán cụ thể. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các bước sau:
Để minh họa, chúng ta sẽ cùng giải bài tập 3.14 với một ví dụ cụ thể. Giả sử hàm số cần khảo sát là:
y = x3 - 3x2 + 2
y' = 3x2 - 6x
Giải phương trình y' = 0:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
y'' = 6x - 6
Hàm số y = x3 - 3x2 + 2 đạt cực đại tại điểm (0, 2) và đạt cực tiểu tại điểm (2, -2).
Đạo hàm là một công cụ mạnh mẽ trong việc giải các bài tập về khảo sát hàm số. Nó giúp chúng ta xác định được các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến, và vẽ được đồ thị hàm số một cách chính xác. Việc nắm vững các kiến thức về đạo hàm là rất quan trọng để đạt kết quả tốt trong môn Toán lớp 12.
Ngoài bài tập 3.14, SGK Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức còn có nhiều bài tập tương tự yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm. Một số dạng bài tập phổ biến bao gồm:
Bài tập 3.14 trang 86 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết trên, các em học sinh có thể tự tin giải bài tập này và các bài tập tương tự một cách hiệu quả.
