Chào mừng các em học sinh đến với bài học Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes thuộc chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Bài học này sẽ cung cấp cho các em những kiến thức nền tảng và phương pháp giải quyết các bài toán liên quan đến xác suất có điều kiện.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cam kết mang đến cho các em những giải pháp học tập hiệu quả và dễ hiểu nhất.
Bài 19 trong chương 6 của sách Toán 12 Kết nối tri thức tập 2 tập trung vào hai công thức quan trọng trong lý thuyết xác suất: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Việc nắm vững hai công thức này là vô cùng cần thiết để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến xác suất có điều kiện.
Công thức xác suất toàn phần được sử dụng để tính xác suất của một biến cố khi biến cố đó có thể xảy ra thông qua một số các biến cố khác, đôi một loại trừ.
Phát biểu: Giả sử A là một biến cố. Gọi B1, B2, ..., Bn là một hệ các biến cố đôi một loại trừ và tổng của chúng là không gian mẫu Ω (B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn = Ω). Khi đó, xác suất của biến cố A được tính theo công thức:
P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bn)P(Bn)
Ví dụ: Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất. Dây chuyền 1 sản xuất 60% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 2%. Dây chuyền 2 sản xuất 40% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 3%. Tính xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi.
Giải:
Ta có:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần:
P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) = 0.02 * 0.6 + 0.03 * 0.4 = 0.012 + 0.012 = 0.024
Vậy, xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi là 0.024.
Công thức Bayes được sử dụng để tính xác suất có điều kiện của một biến cố khi biết kết quả của một biến cố khác.
Phát biểu: Giả sử A và B là hai biến cố. Khi đó, xác suất có điều kiện của A khi biết B được tính theo công thức:
P(A|B) = [P(B|A)P(A)] / P(B)
Trong đó, P(B) có thể được tính bằng công thức xác suất toàn phần.
Ví dụ: Một bệnh viện thực hiện xét nghiệm để chẩn đoán một bệnh. Xét nghiệm có độ chính xác 95%, nghĩa là nếu một người mắc bệnh, xét nghiệm sẽ cho kết quả dương tính với xác suất 95%, và nếu một người không mắc bệnh, xét nghiệm sẽ cho kết quả âm tính với xác suất 95%. Biết rằng 1% dân số mắc bệnh này. Một người được xét nghiệm và kết quả dương tính. Tính xác suất người đó mắc bệnh.
Giải:
Ta có:
Tính P(B) bằng công thức xác suất toàn phần:
P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|¬A)P(¬A) = 0.95 * 0.01 + 0.05 * 0.99 = 0.0095 + 0.0495 = 0.059
Áp dụng công thức Bayes:
P(A|B) = [P(B|A)P(A)] / P(B) = (0.95 * 0.01) / 0.059 ≈ 0.161
Vậy, xác suất người đó mắc bệnh là khoảng 16.1%.
Để củng cố kiến thức về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes, các em có thể tự giải các bài tập sau:
Hy vọng bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Chúc các em học tập tốt!
