Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Phương trình mặt cầu trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức tại giaibaitoan.com. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và chi tiết về các khái niệm, công thức và phương pháp giải bài tập liên quan đến phương trình mặt cầu.
Chúng tôi tin rằng, với sự hướng dẫn tận tình và bài giảng dễ hiểu, bạn sẽ dễ dàng nắm bắt kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán về phương trình mặt cầu.
1. Phương trình mặt cầu
1. Phương trình mặt cầu
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính R có phương trình \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\) |
Nhận xét: Với a, b, c là các hằng số, phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có thể viết lại thành \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - d\) và là phương trình của một mặt cầu (S) khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\). Khi đó, (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).
2. Một số ứng dụng của phương trình mặt cầu trong thực tiễn
Ví dụ: Biết rằng nếu vị trí M có vĩ độ và kinh độ tương ứng là \({\alpha ^ \circ }N,{\beta ^ \circ }E(0 < \alpha ,\beta < 90)\) thì có tọa độ \(M(\cos {\alpha ^ \circ }\cos {\beta ^ \circ };\cos {\alpha ^ \circ }\sin {\beta ^ \circ };\sin {\alpha ^ \circ })\). Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí P: \({10^ \circ }N,{15^ \circ }E\) đến vị trí Q: \({80^ \circ }N,{70^ \circ }E\).
Giải:
Ta có: \(P(\cos {10^ \circ }\cos {15^ \circ };\cos {10^ \circ }\sin {15^ \circ };\sin {10^ \circ })\), \(Q(\cos {80^ \circ }\cos {70^ \circ };\cos {80^ \circ }\sin {70^ \circ };\sin {80^ \circ })\).
Suy ra: \(\overrightarrow {OP} = (\cos {10^ \circ }\cos {15^ \circ };\cos {10^ \circ }\sin {15^ \circ };\sin {10^ \circ })\), \(\overrightarrow {OQ} = (\cos {80^ \circ }\cos {70^ \circ };\cos {80^ \circ }\sin {70^ \circ };\sin {80^ \circ })\).
Do đó,
\(\overrightarrow {OP} .\overrightarrow {OQ} = \cos {10^ \circ }\cos {15^ \circ }\cos {80^ \circ }\cos {70^ \circ } + \cos {10^ \circ }\sin {15^ \circ }\cos {80^ \circ }\sin {70^ \circ } + \sin {10^ \circ }\sin {80^ \circ } \approx 0,2691\).
Vì P, Q thuộc mặt đất nên \(\left| {\overrightarrow {OP} } \right| = \left| {\overrightarrow {OQ} } \right| = 1\).
Do đó \(\cos \widehat {POQ} = \frac{{\overrightarrow {OP} .\overrightarrow {OQ} }}{{\left| {\overrightarrow {OP} } \right|.\left| {\overrightarrow {OQ} } \right|}} \approx 0,2691.\) Suy ra, \(\widehat {POQ} \approx 74,{3893^ \circ }\).
Mặt khác, đường tròn tâm O, đi qua P, Q có bán kính 1 và chu vi là \(2\pi \approx 6,2832\), nên cung nhỏ của đường tròn đó có độ dài xấp xỉ bằng \(\frac{{74,3893}}{{360}}.6,2832 \approx 1,2983\).
Do 1 đơn vị dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6371 km trên thực tế, nên khoảng cách trên mặt đất giữa hai vị trí P, Q xấp xỉ bằng 1,2983.6371 = 8271,4693 (km).
Phương trình mặt cầu là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Hình học không gian lớp 12. Việc nắm vững lý thuyết và phương pháp giải bài tập liên quan đến phương trình mặt cầu là điều cần thiết để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian có khoảng cách đến một điểm cố định (gọi là tâm) bằng một độ dài không đổi (gọi là bán kính). Phương trình mặt cầu có dạng:
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2
Trong đó:
Ngoài dạng phương trình tổng quát, phương trình mặt cầu còn có thể được biểu diễn dưới các dạng khác:
Phương trình có dạng:
x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0
Là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi:
a^2 + b^2 + c^2 - d > 0
Khi đó, tâm của mặt cầu là (a, b, c) và bán kính là R = √(a^2 + b^2 + c^2 - d)
Dưới đây là một số bài toán thường gặp liên quan đến phương trình mặt cầu:
Ví dụ 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình:
(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 9
Giải: Tâm của mặt cầu là (2, -1, 3) và bán kính là R = √9 = 3.
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1, 2, -1) và bán kính R = 5.
Giải: Phương trình mặt cầu là:
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 25
Để nắm vững kiến thức về phương trình mặt cầu, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Bạn có thể tìm thấy các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online như giaibaitoan.com.
Hy vọng rằng, bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết Phương trình mặt cầu Toán 12 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi!
