Chương 5. Phương pháp tọa độ trong không gian

Chương 5: Phương pháp tọa độ trong không gian - Tổng quan

Chương 5 của sách Toán 12 Kết nối tri thức tập 2 tập trung vào việc nghiên cứu phương pháp tọa độ trong không gian, một công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán hình học không gian. Chương này bao gồm các nội dung chính sau:

• Hệ tọa độ Oxyz: Giới thiệu về hệ tọa độ Oxyz, các mặt phẳng tọa độ, trục tọa độ và cách xác định tọa độ của một điểm trong không gian.
• Vectơ trong không gian: Các khái niệm về vectơ, phép cộng, trừ vectơ, tích với một số thực, tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ trong không gian.
• Phương trình đường thẳng trong không gian: Các dạng phương trình của đường thẳng trong không gian (dạng tham số, dạng chính tắc, dạng phương trình tổng quát).
• Phương trình mặt phẳng trong không gian: Các dạng phương trình của mặt phẳng trong không gian (dạng tổng quát, dạng theo đoạn chắn).
• Khoảng cách: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, từ một điểm đến một đường thẳng, giữa hai đường thẳng song song, giữa hai đường thẳng chéo nhau.
• Ứng dụng: Giải các bài toán liên quan đến hình học không gian bằng phương pháp tọa độ.

1. Hệ tọa độ Oxyz

Hệ tọa độ Oxyz là một hệ tọa độ ba chiều, được xác định bởi ba trục vuông góc nhau Ox, Oy, Oz. Mỗi điểm trong không gian được xác định duy nhất bởi bộ ba số thực (x, y, z), gọi là tọa độ của điểm đó.

2. Vectơ trong không gian

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Vectơ được xác định bởi độ dài và hướng. Các phép toán trên vectơ trong không gian tương tự như trong mặt phẳng, nhưng cần chú ý đến chiều thứ ba.

2.1. Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ a = (x₁, y₁, z₁) và b = (x₂, y₂, z₂) được tính bằng công thức:

a.b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

Ứng dụng của tích vô hướng: xác định góc giữa hai vectơ, kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ.

2.2. Tích có hướng của hai vectơ

Tích có hướng của hai vectơ a = (x₁, y₁, z₁) và b = (x₂, y₂, z₂) là một vectơ c = (x, y, z) được tính bằng công thức:

c = a x b = (y₁z₂ - z₁y₂, z₁x₂ - x₁z₂, x₁y₂ - y₁x₂)

Ứng dụng của tích có hướng: tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, tính diện tích hình bình hành.

3. Phương trình đường thẳng trong không gian

Có ba dạng phương trình chính của đường thẳng trong không gian:

• Dạng tham số: x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct
• Dạng chính tắc: (x - x₀)/a = (y - y₀)/b = (z - z₀)/c
• Dạng phương trình tổng quát: { a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0, a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0 }

4. Phương trình mặt phẳng trong không gian

Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian có dạng:

Ax + By + Cz + D = 0

Trong đó (A, B, C) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

5. Ứng dụng

Phương pháp tọa độ trong không gian được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán hình học không gian, như:

• Tính góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng.
• Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng.
• Tính khoảng cách giữa các đối tượng hình học.
• Chứng minh các đẳng thức hình học.

Hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn chi tiết trên, bạn sẽ nắm vững phương pháp tọa độ trong không gian và tự tin giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa Toán 12 Kết nối tri thức tập 2.