Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Phương trình mặt phẳng trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Đây là một phần kiến thức quan trọng trong hình học không gian, giúp bạn hiểu rõ hơn về vị trí tương quan giữa các mặt phẳng và đường thẳng trong không gian.
Bài học này sẽ cung cấp đầy đủ các khái niệm, định lý và công thức cần thiết để bạn có thể giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình mặt phẳng một cách hiệu quả.
1. Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng a) Khái niệm vecto pháp tuyến
1. Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng
a) Khái niệm vecto pháp tuyến
| Vecto \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) được gọi là vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nếu giá của \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\left( \alpha \right)\). |
b) Tích có hướng của hai vecto
Trong không gian Oxyz, cho hai vecto \(\overrightarrow u = (a;b;c)\) và \(\overrightarrow v = (a';b';c')\). Khi đó vecto vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), được gọi là tích có hướng của \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), kí hiệu là \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\). |
c) Cặp vecto chỉ phương
Trong không gian Oxyz, hai vecto \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) được gọi là cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (P) nếu chúng không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P) Nếu \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) là cặp vecto chỉ phương của (P) thì \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) là một vecto pháp tuyến của (P). |
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
| Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó. |
3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\) có phương trình là: \(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0 \Leftrightarrow Ax + By + Cz + D = 0\), với \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\) |
Bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vecto chỉ phương:
Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vecto chỉ phương \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) có thể thực hiện theo các bước sau:
Bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng:
Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:
4. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0,\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0,\) với hai vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\), \(\overrightarrow {n'} = (A';B';C')\) tương ứng. Khi đó: \(\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right) \Leftrightarrow \overrightarrow n \bot \overrightarrow {n'} \Leftrightarrow AA' + BB' + CC' = 0\). |
5. Điều kiện để hai mặt phẳng song song với nhau
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0,\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0,\) với hai vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\), \(\overrightarrow {n'} = (A';B';C')\) tương ứng. Khi đó: \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {n'} = k\overrightarrow n \\D' \ne kD\end{array} \right.\) với k nào đó. |
6. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là: \(d(M,(P)) = \frac{{\left| {A{x_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}B{y_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}C{z_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\) |
Phương trình mặt phẳng là một công cụ quan trọng trong hình học không gian, cho phép chúng ta mô tả vị trí của một mặt phẳng trong không gian Oxyz. Hiểu rõ lý thuyết và cách áp dụng phương trình mặt phẳng là yếu tố then chốt để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học không gian trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức.
Một mặt phẳng được xác định duy nhất bởi một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Vectơ pháp tuyến là vectơ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng.
Nếu n = (a; b; c) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), thì phương trình của mặt phẳng (P) có dạng:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Trong đó, (x0; y0; z0) là tọa độ của một điểm thuộc mặt phẳng (P).
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có dạng:
Ax + By + Cz + D = 0
Trong đó, (A; B; C) là tọa độ của một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Ba điểm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB), C(xC; yC; zC) xác định một mặt phẳng khi và chỉ khi chúng không thẳng hàng. Vectơ AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA) và AC = (xC - xA; yC - yA; zC - zA) không cùng phương, tức là:
[AB, AC] ≠ 0
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng. Nếu n1 và n2 là hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P1) và (P2), thì góc φ giữa hai mặt phẳng được tính bởi công thức:
cos φ = |n1 . n2| / (||n1|| . ||n2||)
Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vectơ pháp tuyến n = (1; -1; 2).
Giải: Phương trình mặt phẳng có dạng: 1(x - 1) - 1(y - 2) + 2(z - 3) = 0 ⇔ x - y + 2z - 3 = 0
Ví dụ 2: Tìm góc giữa hai mặt phẳng: (P1): x + y + z - 1 = 0 và (P2): x - y + z - 2 = 0.
Giải: Vectơ pháp tuyến của (P1) là n1 = (1; 1; 1), vectơ pháp tuyến của (P2) là n2 = (1; -1; 1). cos φ = |(1)(1) + (1)(-1) + (1)(1)| / (√(12 + 12 + 12) . √(12 + (-1)2 + 12)) = 1/3. Vậy φ = arccos(1/3).
Để nắm vững lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Kết nối tri thức, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm kiếm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập và các trang web học toán online uy tín. Việc giải bài tập thường xuyên sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Chúc bạn học tốt!
