Chủ đề góc trong không gian là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Việc nắm vững lý thuyết và các công thức tính toán liên quan là nền tảng để giải quyết các bài toán hình học không gian một cách chính xác và hiệu quả.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, chi tiết, giúp bạn hiểu rõ các khái niệm, định lý và công thức cần thiết về góc trong không gian.
1. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng
1. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) tương ứng có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (a;b;c),\overrightarrow {u'} = (a';b';c')\). Khi đó: \(\cos (\Delta ,\Delta ') = \left| {\cos (\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} )} \right| = \frac{{\left| {aa' + bb' + cc'} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {a{'^2} + b{'^2} + c{'^2}} }}\) |
2. Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (a;b;c)\) và mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\). Khi đó: \(\sin (\Delta ,(P)) = \left| {\cos (\overrightarrow u ,\overrightarrow n )} \right| = \frac{{\left| {aA + bB + cC} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\) |
3. Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C),\overrightarrow {n'} = (A';B';C')\). Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)), được tính theo công thức: \(\cos ((P),(Q)) = \left| {\cos (\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} )} \right| = \frac{{\left| {AA' + BB' + CC'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{'^2} + B{'^2} + C{'^2}} }}\) |
Chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, phần hình học không gian, tập trung vào việc nghiên cứu các góc tạo bởi các đối tượng trong không gian ba chiều. Hiểu rõ các khái niệm và công thức liên quan đến góc trong không gian là yếu tố then chốt để giải quyết các bài toán phức tạp.
Trước khi đi sâu vào các công thức, chúng ta cần nắm vững các khái niệm sau:
Cho hai đường thẳng d1 và d2 có vectơ chỉ phương lần lượt là u1 và u2. Góc θ giữa hai đường thẳng được tính theo công thức:
cos θ = |u1 ⋅ u2| / (|u1| ⋅ |u2|)
Trong đó:
Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương u và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n. Góc θ giữa đường thẳng và mặt phẳng được tính theo công thức:
sin θ = |u ⋅ n| / (|u| ⋅ |n|)
Lưu ý: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc nhọn hoặc góc tù, do đó cần xét dấu của sin để xác định góc.
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1 và n2. Góc θ giữa hai mặt phẳng được tính theo công thức:
cos θ = |n1 ⋅ n2| / (|n1| ⋅ |n2|)
Góc nhị diện thường được tính bằng góc nhọn, do đó nếu cos θ âm, ta cần tính góc bù.
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng d1: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và d2: x = 2 - s, y = 1 + s, z = 4 - s. Tính góc giữa hai đường thẳng.
Giải:
Vectơ chỉ phương của d1 là u1 = (1, -1, 2). Vectơ chỉ phương của d2 là u2 = (-1, 1, -1).
u1 ⋅ u2 = (1)(-1) + (-1)(1) + (2)(-1) = -4
|u1| = √(12 + (-1)2 + 22) = √6
|u2| = √((-1)2 + 12 + (-1)2) = √3
cos θ = |-4| / (√6 ⋅ √3) = 4 / √18 = 4 / (3√2) = (2√2) / 3
Vậy θ = arccos((2√2) / 3) ≈ 19.47°
Để nắm vững kiến thức về góc trong không gian, bạn nên luyện tập giải nhiều bài tập khác nhau. Các bài tập này có thể bao gồm việc tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc nhị diện, và ứng dụng các công thức này để giải các bài toán hình học không gian phức tạp hơn.
Lý thuyết và công thức tính góc trong không gian là một phần quan trọng của chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Việc hiểu rõ và áp dụng thành thạo các công thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả và chính xác. Hãy luyện tập thường xuyên và tìm kiếm sự hỗ trợ khi cần thiết để đạt được kết quả tốt nhất.
