Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị hàm số Toán 12 Kết nối tri thức

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức

Chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, phần Tính đơn điệu và cực trị của hàm số đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu sâu sắc về hành vi của hàm số và ứng dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.

Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, bài giảng chi tiết và bài tập đa dạng để giúp bạn nắm vững kiến thức này một cách hiệu quả nhất.

1. Tính đơn điệu của hàm số Khái niệm tính đơn điệu của hàm số

1. Tính đơn điệu của hàm số

Khái niệm tính đơn điệu của hàm số

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y = f(x) là hàm số xác định trên K

Hàm số y = f(x) đồng biến trên K nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\)
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên K nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\)

Ví dụ: Hàm số y = |x| đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\)

Định lý

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) > 0
Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) < 0

Ví dụ: Hàm số \(y = {x^2} - 4x + 2\) có y’ = 2x – 4

y’ > 0 với \(x \in (2; + \infty )\) nên HS đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)
y’ < 0 với \(x \in ( - \infty ;2)\) nên HS đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\)

Sử dụng BBT xét tính đơn điệu của hàm số

Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x)

Tìm tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm \({x_i}\)(i=1,2,…) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
Sắp xếp các điểm \({x_i}\) theo thứ tự tăng dần và lập BBT của hàm số.
Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ: Xét chiều biến thiên của hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\)

1. Tập xác định của hàm số là \(R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

2. Ta có: \(y' = \frac{{(x + 1) - (x - 2)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{3}{{{{(x + 1)}^2}}} > 0\forall x \ne - 1\)

3. BBT

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức 1

4. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)

2. Cực trị của hàm số

Khái niệm cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là \( - \infty \), b có thể là \( + \infty \) ) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).

Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(\({x_0}\)) \(\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì hàm số f(x) đạt cực đại tại \({x_0}\)
Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(\({x_0}\)) \(\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại \({x_0}\)

Ví dụ: Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức 2

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và \({y_{CT}}\)= y(-1) = 2

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và = y(0) = 3

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và \({y_{CT}}\)= y(1) = 2

Cách tìm cực trị của hàm số

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0};b} \right)\). Khi đó:

Nếu f’(x) < 0 \(\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) > 0 \(\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)
Nếu f’(x) > 0 \(\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) < 0 \(\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực đại của hàm số f(x)

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 30\).

Tập xác định của hàm số là R.

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 12x + 9\); y’ = 0 \( \Leftrightarrow \)x = 1 hoặc x = 3.

BBT:

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức 3

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và = y(1) = 34

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và \({y_{CT}}\)= y(3) = 30

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức 4

Chinh phục điểm cao Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán, rộng mở cánh cửa Đại học với nội dung Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức trong chuyên mục giải sgk toán 12 trên nền tảng môn toán! Bộ bài tập toán trung học phổ thông, được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, cam kết tối ưu hóa toàn diện lộ trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn trang bị chiến thuật làm bài hiệu quả, tự tin đạt kết quả đột phá, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vững vàng vào đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, khoa học và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức

Chương trình Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu sự biến thiên của hàm số, đặc biệt là tính đơn điệu và cực trị. Đây là nền tảng quan trọng để giải quyết nhiều bài toán tối ưu hóa và ứng dụng thực tế.

I. Khái niệm về tính đơn điệu của hàm số

Một hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên một khoảng (a, b) nếu với mọi x₁, x₂ thuộc (a, b) và x₁ < x₂ thì f(x₁) ≤ f(x₂). Hàm số được gọi là nghịch biến trên một khoảng (a, b) nếu với mọi x₁, x₂ thuộc (a, b) và x₁ < x₂ thì f(x₁) ≥ f(x₂).

Để xét tính đơn điệu của hàm số, ta thường sử dụng đạo hàm. Cụ thể:

Nếu f'(x) > 0 trên một khoảng (a, b) thì hàm số f(x) đồng biến trên (a, b).
Nếu f'(x) < 0 trên một khoảng (a, b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên (a, b).
Nếu f'(x) = 0 với mọi x thuộc (a, b) thì hàm số f(x) không đổi trên (a, b).

II. Khái niệm về cực trị của hàm số

Điểm x₀ được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x₀ sao cho f(x₀) ≥ f(x) với mọi x thuộc (a, b). Giá trị f(x₀) được gọi là giá trị cực đại của hàm số.

Điểm x₀ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x₀ sao cho f(x₀) ≤ f(x) với mọi x thuộc (a, b). Giá trị f(x₀) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.

Để tìm cực trị của hàm số, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm f'(x).
Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm nghiệm.
Xét dấu của f'(x) trên các khoảng xác định bởi các điểm nghiệm để xác định điểm cực đại và cực tiểu.

III. Ứng dụng của lý thuyết tính đơn điệu và cực trị

Lý thuyết tính đơn điệu và cực trị có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác:

Giải các bài toán tối ưu hóa: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước.
Nghiên cứu sự biến thiên của hàm số: Vẽ đồ thị hàm số, xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực đại, cực tiểu.
Ứng dụng trong kinh tế: Xác định điểm sản xuất tối ưu, điểm tiêu thụ tối đa.
Ứng dụng trong vật lý: Tìm điểm cân bằng, điểm cực trị của các đại lượng vật lý.

IV. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số.

Giải:

Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x.
Giải phương trình f'(x) = 0: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2.
Xét dấu của f'(x):
- Khi x < 0: f'(x) > 0 => Hàm số đồng biến trên (-∞, 0).
- Khi 0 < x < 2: f'(x) < 0 => Hàm số nghịch biến trên (0, 2).
- Khi x > 2: f'(x) > 0 => Hàm số đồng biến trên (2, +∞).
Kết luận: Hàm số có điểm cực đại tại x = 0 với giá trị f(0) = 2 và điểm cực tiểu tại x = 2 với giá trị f(2) = -2.

V. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải bài tập về tính đơn điệu và cực trị của hàm số, bạn nên luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. giaibaitoan.com cung cấp một hệ thống bài tập phong phú, đa dạng với các mức độ khó khác nhau để bạn có thể rèn luyện và nâng cao kiến thức của mình.

Hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn trên, bạn sẽ hiểu rõ hơn về lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức và áp dụng thành công vào giải quyết các bài toán.