Chương 4. Nguyên hàm và tích phân

Chương 4: Nguyên hàm và tích phân - Tổng quan

Chương 4 của sách Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu nguyên hàm và tích phân, hai khái niệm đối nghịch nhưng liên quan mật thiết với nhau trong giải tích. Nguyên hàm là phép toán ngược của phép vi phân, trong khi tích phân là phép toán tính diện tích dưới đường cong.

1. Nguyên hàm

Nguyên hàm của một hàm số f(x) là một hàm số F(x) sao cho đạo hàm của F(x) bằng f(x), tức là F'(x) = f(x). Việc tìm nguyên hàm được gọi là phép tính tích phân bất định. Một hàm số có vô số nguyên hàm, khác nhau bởi một hằng số cộng. Công thức nguyên hàm cơ bản cần nắm vững bao gồm:

• ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C (n ≠ -1)
• ∫(1/x) dx = ln|x| + C
• ∫e^x dx = e^x + C
• ∫sin(x) dx = -cos(x) + C
• ∫cos(x) dx = sin(x) + C

2. Tích phân bất định

Tích phân bất định là tập hợp tất cả các nguyên hàm của một hàm số. Ký hiệu: ∫f(x) dx. Các tính chất của tích phân bất định bao gồm tính tuyến tính, tính chất đổi dấu, và tính chất cộng trừ.

3. Tích phân xác định

Tích phân xác định của một hàm số f(x) trên đoạn [a, b] là một số thực, biểu thị diện tích có dấu giữa đồ thị của hàm số f(x), trục hoành, và hai đường thẳng x = a và x = b. Ký hiệu: ∫_a^b f(x) dx. Định lý cơ bản của giải tích liên hệ tích phân xác định với nguyên hàm.

4. Các phương pháp tính tích phân

Có nhiều phương pháp để tính tích phân, bao gồm:

• Phương pháp đổi biến số: Sử dụng để đơn giản hóa tích phân bằng cách thay đổi biến số.
• Phương pháp tích phân từng phần: Sử dụng để tính tích phân của tích hai hàm số. Công thức: ∫u dv = uv - ∫v du
• Phương pháp phân tích thành nhân tử: Sử dụng để đơn giản hóa tích phân bằng cách phân tích mẫu số thành nhân tử.

5. Ứng dụng của tích phân

Tích phân có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:

• Tính diện tích: Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi các đường cong.
• Tính thể tích: Tính thể tích của các vật thể tròn xoay.
• Tính độ dài đường cong: Tính độ dài của một đường cong.
• Tính công: Tính công thực hiện bởi một lực.

6. Bài tập minh họa

Ví dụ 1: Tính ∫(2x + 1) dx

Giải: ∫(2x + 1) dx = ∫2x dx + ∫1 dx = 2∫x dx + ∫1 dx = 2(x²/2) + x + C = x² + x + C

Ví dụ 2: Tính ∫₀¹ x² dx

Giải: ∫₀¹ x² dx = [x³/3]₀¹ = (1³/3) - (0³/3) = 1/3

7. Lời khuyên khi học chương 4

• Nắm vững các công thức nguyên hàm cơ bản.
• Luyện tập thường xuyên các bài tập về tích phân bất định và tích phân xác định.
• Hiểu rõ các phương pháp tính tích phân và biết khi nào sử dụng phương pháp nào.
• Áp dụng kiến thức về tích phân để giải các bài toán thực tế.

Hy vọng rằng những kiến thức và bài tập trong chương này sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về nguyên hàm và tích phân, một trong những công cụ quan trọng nhất của giải tích.