Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách giải bài tập 1.14 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập tốt nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng (108c{m^2}) như Hình 1.17. Tìm các kích thước của chiếc hộp sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.
Đề bài
Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng \(108c{m^2}\) như Hình 1.17. Tìm các kích thước của chiếc hộp sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên một đoạn để tính: Giả sử \(y = f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) mà đạo hàm \(f'\left( x \right) = 0\).
Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):
1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...{x_n} \in \left( {a;b} \right)\), tại đó \(f'\left( x \right) = 0\) hoặc không tồn tại.
2. Tính \(f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right)\), f(a) và f(b).
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:
\(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\)
Lời giải chi tiết
Hình hộp trên có độ dài cạnh đáy là x (cm, \(0 < x < \sqrt {108} \)) và chiều cao là h (cm, \(h > 0\)).
Diện tích bề mặt của hình hộp là \(108c{m^2}\) nên \({x^2} + 4xh = 108 \Rightarrow h = \frac{{108 - {x^2}}}{{4x}}\left( {cm} \right)\).
Thể tích của hình hộp là: \(V = {x^2}.h = {x^2}.\frac{{108 - {x^2}}}{{4x}} = \frac{{108x - {x^3}}}{4}\left( {c{m^3}} \right)\).
Ta có: \(V' = \frac{{ - 3{x^2} + 108}}{4},V' = 0 \Leftrightarrow x = 6\) (do \(x > 0\)).
Bảng biến thiên:
Do đó, thể tích của hình hộp là lớn nhất khi độ dài cạnh đáy \(x = 6\) cm.
Khi đó, chiều cao của hình hộp là: \(\frac{{108 - {6^2}}}{{4.6}} = 3\left( {cm} \right)\).
Bài tập 1.14 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức thuộc chương 1: Hàm số và đồ thị. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số bậc hai, điều kiện xác định của hàm số và các phép biến đổi hàm số để giải quyết. Việc nắm vững kiến thức nền tảng là yếu tố then chốt để hoàn thành bài tập này một cách chính xác.
Bài tập 1.14 bao gồm các câu hỏi liên quan đến việc xác định tập xác định của hàm số, tìm tập giá trị của hàm số và vẽ đồ thị hàm số. Cụ thể, bài tập yêu cầu:
Để hàm số y = √(2x - 1) / (x - 3) xác định, cần thỏa mãn hai điều kiện sau:
Vậy tập xác định của hàm số là D = [1/2; 3) ∪ (3; +∞)
Hàm số y = x² - 4x + 3 là một hàm số bậc hai có dạng y = ax² + bx + c với a = 1, b = -4, c = 3. Vì a > 0 nên hàm số có giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của parabol.
Hoành độ đỉnh của parabol là x = -b / 2a = -(-4) / (2 * 1) = 2
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = (2)² - 4 * 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1
Vậy tập giá trị của hàm số là T = [-1; +∞)
Hàm số y = -x² + 2x + 1 là một hàm số bậc hai có dạng y = ax² + bx + c với a = -1, b = 2, c = 1. Vì a < 0 nên hàm số có giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol.
Hoành độ đỉnh của parabol là x = -b / 2a = -2 / (2 * -1) = 1
Giá trị lớn nhất của hàm số là y = -(1)² + 2 * 1 + 1 = -1 + 2 + 1 = 2
Đỉnh của parabol là I(1; 2)
Điểm đi qua trục Oy là A(0; 1)
Điểm đi qua trục Ox là B(1 + √2; 0) và C(1 - √2; 0)
Vẽ parabol đi qua các điểm I, A, B, C.
Bài tập 1.14 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số bậc hai. Hy vọng với lời giải chi tiết và những lưu ý trên, bạn sẽ tự tin hơn khi giải bài tập này. Chúc bạn học tập tốt!
