Bài tập 2.11 trang 59 SGK Toán 12 tập 1 thuộc chương trình học môn Toán lớp 12, chương 1: Hàm số và đồ thị. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số bậc hai, điều kiện xác định và tập giá trị của hàm số để giải quyết.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Trong không gian, cho hai vectơ (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) có cùng độ dài bằng 1. Biết rằng góc giữa hai vectơ đó là ({45^0}), hãy tính: a) (overrightarrow a .overrightarrow b ); b) (left( {overrightarrow a + 3overrightarrow b } right).left( {overrightarrow a - 2overrightarrow b } right)) c) ({left( {overrightarrow a + overrightarrow b } right)^2}).
Đề bài
Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) có cùng độ dài bằng 1. Biết rằng góc giữa hai vectơ đó là \({45^0}\), hãy tính:a) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \);b) \(\left( {\overrightarrow a + 3\overrightarrow b } \right).\left( {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right)\)c) \({\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \), được xác định bởi công thức sau: \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
Lời giải chi tiết
a) \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 1.1.\cos {45^0} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
b) \(\left( {\overrightarrow a + 3\overrightarrow b } \right).\left( {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right) = {\overrightarrow a ^2} + \overrightarrow a .\overrightarrow b - 6{\overrightarrow b ^2} = 1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2} - 6.1 = - 5 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
c) \({\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2} = 1 + 2.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + 1 = 2 + \sqrt 2 \)
Bài tập 2.11 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức yêu cầu xét hàm số f(x) = x2 - 4x + 3 và xác định tập xác định, tập giá trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số.
Hàm số f(x) = x2 - 4x + 3 là một hàm số bậc hai. Hàm số bậc hai có tập xác định là tập số thực, tức là D = ℝ.
Để xác định tập giá trị của hàm số, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số. Hàm số f(x) = x2 - 4x + 3 có dạng parabol với hệ số a = 1 > 0, do đó parabol quay lên trên. Đỉnh của parabol có hoành độ x0 = -b / 2a = -(-4) / (2 * 1) = 2.
Giá trị của hàm số tại đỉnh là f(2) = 22 - 4 * 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1.
Vậy tập giá trị của hàm số là [-1, +∞).
Hàm số f(x) = x2 - 4x + 3 đồng biến trên khoảng (2, +∞) và nghịch biến trên khoảng (-∞, 2).
Hàm số f(x) = x2 - 4x + 3 có cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu là f(2) = -1.
Để hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, chúng ta cùng xem xét một ví dụ cụ thể:
Ví dụ: Xét hàm số f(x) = x2 - 6x + 5. Hãy xác định tập xác định, tập giá trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số.
Hàm số bậc hai có dạng tổng quát là f(x) = ax2 + bx + c, với a ≠ 0. Việc hiểu rõ các yếu tố như hệ số a, đỉnh của parabol, trục đối xứng và tập giá trị là rất quan trọng để giải quyết các bài tập liên quan đến hàm số bậc hai.
Để củng cố kiến thức, các em học sinh có thể luyện tập thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức và các tài liệu tham khảo khác.
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về cách giải bài tập 2.11 trang 59 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
