Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập mục 2 trang 95 SGK Toán 12 tập 1 chương trình Kết nối tri thức. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán Toán 12.
Bài tập mục 2 trang 95 tập trung vào các kiến thức quan trọng của chương trình, đòi hỏi các em phải có sự hiểu biết sâu sắc về lý thuyết và kỹ năng vận dụng linh hoạt.
Tóm tắt và phân tích dữ liệu
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 95 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Bảng tần số sau đây là dữ liệu thu được trên một lớp học. Hãy thực hiện HĐ3 cho mẫu số liệu này.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là \({s^2}\), là một số được tính theo công thức sau: \({s^2} = \frac{1}{n}\left( {{m_1}x_1^2 + ... + {m_k}x_k^2} \right) - {\left( {\overline x } \right)^2}\), trong đó \(n = {m_1} + ... + {m_k}\) với \(\overline x = \frac{{{m_1}{x_1} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}\) là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.
Sử dụng kiến thức độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là \(s = \sqrt {{s^2}} \)
Sử dụng kiến thức về hệ số biến thiên để tính hệ số biến thiên độ dài gang tay: Hệ số biến thiên tính theo công thức: \(cv = \frac{s}{{\overline x }}\), trong đó: s là độ lệch chuẩn của mẫu số liệu, \(\overline x \) là giá trị trung bình của mẫu số liệu
Lời giải chi tiết:
a) Bảng số liệu với giá trị đại diện
Chiều dài gang tay trung bình của học sinh nam trong lớp là:
\(\overline {{x_1}} = \frac{{18,5.1 + 19,5.4 + 20,5.8 + 21,5.6 + 22,5.3 + 23,5.2}}{{1 + 4 + 8 + 6 + 3 + 2}} = 21\left( {cm} \right)\)
Chiều dài gang tay trung bình của học sinh nữ trong lớp là:
\(\overline {{x_2}} = \frac{{16,5.3 + 17,5.6 + 18,5.17 + 19,5.14 + 20,5.2 + 21,5.1}}{{3 + 6 + 17 + 14 + 2 + 1}} = \frac{{1609}}{{86}}\left( {cm} \right)\)
b) Chiều dài gang tay của học sinh nam có:
Phương sai:
\(s_1^2 = \frac{1}{{24}}\left( {1.18,{5^2} + 4.19,{5^2} + 8.20,{5^2} + 6.21,{5^2} + 3.22,{5^2} + 2.23,{5^2}} \right) - {21^2} = \frac{{19}}{{12}}\)
Độ lệch chuẩn: \({s_1} = \sqrt {\frac{{19}}{{12}}} = \frac{{\sqrt {57} }}{6}\)
Hệ số biến thiên: \(c{v_1} = \frac{{{s_1}}}{{\overline {{x_1}} }} = \frac{{\frac{{\sqrt {57} }}{6}}}{{21}} \approx 0,0599\)
Chiều dài gang tay của học sinh nữ có:
Phương sai:
\(s_2^2 = \frac{1}{{43}}\left( {16,{5^2}.3 + 17,{5^2}.6 + 18,{5^2}.17 + 19,{5^2}.14 + 20,{5^2}.2 + 21,{5^2}.1} \right) - {\left( {\frac{{1609}}{{86}}} \right)^2} \approx 1,1\)
Độ lệch chuẩn: \({s_2} = \sqrt {1,1} \approx 1,05\)
Hệ số biến thiên: \(c{v_2} = \frac{{{s_2}}}{{\overline {{x_2}} }} = \frac{{1,05}}{{\frac{{1609}}{{86}}}} \approx 0,0561\)
Vì \(c{v_1} > c{v_2}\) nên độ dài gang tay học sinh nam phân tán nhiều hơn độ dài gang tay học sinh nữ trong lớp.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 95 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Sử dụng bảng tần số thu được ở HĐ2, em hãy:
a) Tính độ gang tay trung bình của các học sinh nữ, học sinh nam trong lớp và so sánh.
b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn và từ đó tính hệ số biến thiên độ dài gang tay của hai nhóm học sinh này và so sánh.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là \({s^2}\), là một số được tính theo công thức sau: \({s^2} = \frac{1}{n}\left( {{m_1}x_1^2 + ... + {m_k}x_k^2} \right) - {\left( {\overline x } \right)^2}\), trong đó với là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.
Sử dụng kiến thức độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc \(n = {m_1} + ... + {m_k}\)hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là \(s = \sqrt {{s^2}} \)
Sử dụng kiến thức về hệ số biến thiên để tính hệ số biến thiên độ dài gang tay: Hệ số biến thiên tính theo công thức: \(cv = \frac{s}{{\overline x }}\), trong đó: s là độ lệch chuẩn của mẫu số liệu, \(\overline x \) là giá trị trung bình của mẫu số liệu
Lời giải chi tiết:
a) Bảng số liệu với giá trị đại diện
Chiều dài gang tay trung bình của học sinh nam trong lớp là:
\(\overline {{x_1}} = \frac{{18,5.1 + 19,5.6 + 20,5.8 + 21,5.7 + 22,5.2 + 23,5.1}}{{1 + 6 + 8 + 7 + 2 + 1}} = 20,74\left( {cm} \right)\)
Chiều dài gang tay trung bình của học sinh nữ trong lớp là:
\(\overline {{x_2}} = \frac{{16,5.3 + 17,5.2 + 18,5.8 + 19,5.4 + 20,5.2 + 21,5.1}}{{3 + 2 + 8 + 4 + 2 + 1}} = 18,65\left( {cm} \right)\)
b) Chiều dài gang tay của học sinh nam:
Phương sai:
\(s_1^2 = \frac{1}{{25}}\left( {1.18,{5^2} + 6.19,{5^2} + 8.20,{5^2} + 7.21,{5^2} + 2.22,{5^2} + 1.23,{5^2}} \right) - 20,{74^2} = 1,3024\)
Độ lệch chuẩn: \({s_1} = \sqrt {1,3024} = \frac{{\sqrt {814} }}{{25}}\)
Hệ số biến thiên: \(c{v_1} = \frac{{{s_1}}}{{\overline {{x_1}} }} = \frac{{\frac{{\sqrt {814} }}{{25}}}}{{20,74}} \approx 0,055\)
Chiều dài gang tay của học sinh nữ:
Phương sai:
\(s_2^2 = \frac{1}{{20}}\left( {16,{5^2}.3 + 17,{5^2}.2 + 18,{5^2}.8 + 19,{5^2}.4 + 20,{5^2}.2 + 21,{5^2}.1} \right) - 18,{65^2} = 1,7275\)
Độ lệch chuẩn: \({s_2} = \sqrt {1,7275} = \frac{{\sqrt {691} }}{{20}}\)
Hệ số biến thiên: \(c{v_2} = \frac{{{s_2}}}{{\overline {{x_2}} }} = \frac{{\frac{{\sqrt {691} }}{{20}}}}{{18,65}} \approx 0,07\)
Vì \(c{v_1} < c{v_2}\) nên chiều dài gang tay học sinh nữ phân tán nhiều hơn chiều dài gang tay học sinh nam trong lớp.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 95 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Lập bảng tần số ghép nhóm cho dữ liệu thu được trên từng nhóm theo mẫu sau đây và minh họa bằng biểu đồ tần số.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về lập bảng tần số ghép nhóm cho dữ liệu và vẽ biểu đồ để thực hiện.
Lời giải chi tiết:
Minh họa bằng biểu đồ:
+ Biểu đồ thể hiện tần số chiều dài gang tay của các học sinh nam:
+ Biểu đồ thể hiện tần số chiều dài gang tay của các học sinh nữ:
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 95 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Lập bảng tần số ghép nhóm cho dữ liệu thu được trên từng nhóm theo mẫu sau đây và minh họa bằng biểu đồ tần số.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về lập bảng tần số ghép nhóm cho dữ liệu và vẽ biểu đồ để thực hiện.
Lời giải chi tiết:
Minh họa bằng biểu đồ:
+ Biểu đồ thể hiện tần số chiều dài gang tay của các học sinh nam:
+ Biểu đồ thể hiện tần số chiều dài gang tay của các học sinh nữ:
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 95 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Sử dụng bảng tần số thu được ở HĐ2, em hãy:
a) Tính độ gang tay trung bình của các học sinh nữ, học sinh nam trong lớp và so sánh.
b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn và từ đó tính hệ số biến thiên độ dài gang tay của hai nhóm học sinh này và so sánh.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là \({s^2}\), là một số được tính theo công thức sau: \({s^2} = \frac{1}{n}\left( {{m_1}x_1^2 + ... + {m_k}x_k^2} \right) - {\left( {\overline x } \right)^2}\), trong đó với là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.
Sử dụng kiến thức độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc \(n = {m_1} + ... + {m_k}\)hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là \(s = \sqrt {{s^2}} \)
Sử dụng kiến thức về hệ số biến thiên để tính hệ số biến thiên độ dài gang tay: Hệ số biến thiên tính theo công thức: \(cv = \frac{s}{{\overline x }}\), trong đó: s là độ lệch chuẩn của mẫu số liệu, \(\overline x \) là giá trị trung bình của mẫu số liệu
Lời giải chi tiết:
a) Bảng số liệu với giá trị đại diện
Chiều dài gang tay trung bình của học sinh nam trong lớp là:
\(\overline {{x_1}} = \frac{{18,5.1 + 19,5.6 + 20,5.8 + 21,5.7 + 22,5.2 + 23,5.1}}{{1 + 6 + 8 + 7 + 2 + 1}} = 20,74\left( {cm} \right)\)
Chiều dài gang tay trung bình của học sinh nữ trong lớp là:
\(\overline {{x_2}} = \frac{{16,5.3 + 17,5.2 + 18,5.8 + 19,5.4 + 20,5.2 + 21,5.1}}{{3 + 2 + 8 + 4 + 2 + 1}} = 18,65\left( {cm} \right)\)
b) Chiều dài gang tay của học sinh nam:
Phương sai:
\(s_1^2 = \frac{1}{{25}}\left( {1.18,{5^2} + 6.19,{5^2} + 8.20,{5^2} + 7.21,{5^2} + 2.22,{5^2} + 1.23,{5^2}} \right) - 20,{74^2} = 1,3024\)
Độ lệch chuẩn: \({s_1} = \sqrt {1,3024} = \frac{{\sqrt {814} }}{{25}}\)
Hệ số biến thiên: \(c{v_1} = \frac{{{s_1}}}{{\overline {{x_1}} }} = \frac{{\frac{{\sqrt {814} }}{{25}}}}{{20,74}} \approx 0,055\)
Chiều dài gang tay của học sinh nữ:
Phương sai:
\(s_2^2 = \frac{1}{{20}}\left( {16,{5^2}.3 + 17,{5^2}.2 + 18,{5^2}.8 + 19,{5^2}.4 + 20,{5^2}.2 + 21,{5^2}.1} \right) - 18,{65^2} = 1,7275\)
Độ lệch chuẩn: \({s_2} = \sqrt {1,7275} = \frac{{\sqrt {691} }}{{20}}\)
Hệ số biến thiên: \(c{v_2} = \frac{{{s_2}}}{{\overline {{x_2}} }} = \frac{{\frac{{\sqrt {691} }}{{20}}}}{{18,65}} \approx 0,07\)
Vì \(c{v_1} < c{v_2}\) nên chiều dài gang tay học sinh nữ phân tán nhiều hơn chiều dài gang tay học sinh nam trong lớp.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 95 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Bảng tần số sau đây là dữ liệu thu được trên một lớp học. Hãy thực hiện HĐ3 cho mẫu số liệu này.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là \({s^2}\), là một số được tính theo công thức sau: \({s^2} = \frac{1}{n}\left( {{m_1}x_1^2 + ... + {m_k}x_k^2} \right) - {\left( {\overline x } \right)^2}\), trong đó \(n = {m_1} + ... + {m_k}\) với \(\overline x = \frac{{{m_1}{x_1} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}\) là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.
Sử dụng kiến thức độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là \(s = \sqrt {{s^2}} \)
Sử dụng kiến thức về hệ số biến thiên để tính hệ số biến thiên độ dài gang tay: Hệ số biến thiên tính theo công thức: \(cv = \frac{s}{{\overline x }}\), trong đó: s là độ lệch chuẩn của mẫu số liệu, \(\overline x \) là giá trị trung bình của mẫu số liệu
Lời giải chi tiết:
a) Bảng số liệu với giá trị đại diện
Chiều dài gang tay trung bình của học sinh nam trong lớp là:
\(\overline {{x_1}} = \frac{{18,5.1 + 19,5.4 + 20,5.8 + 21,5.6 + 22,5.3 + 23,5.2}}{{1 + 4 + 8 + 6 + 3 + 2}} = 21\left( {cm} \right)\)
Chiều dài gang tay trung bình của học sinh nữ trong lớp là:
\(\overline {{x_2}} = \frac{{16,5.3 + 17,5.6 + 18,5.17 + 19,5.14 + 20,5.2 + 21,5.1}}{{3 + 6 + 17 + 14 + 2 + 1}} = \frac{{1609}}{{86}}\left( {cm} \right)\)
b) Chiều dài gang tay của học sinh nam có:
Phương sai:
\(s_1^2 = \frac{1}{{24}}\left( {1.18,{5^2} + 4.19,{5^2} + 8.20,{5^2} + 6.21,{5^2} + 3.22,{5^2} + 2.23,{5^2}} \right) - {21^2} = \frac{{19}}{{12}}\)
Độ lệch chuẩn: \({s_1} = \sqrt {\frac{{19}}{{12}}} = \frac{{\sqrt {57} }}{6}\)
Hệ số biến thiên: \(c{v_1} = \frac{{{s_1}}}{{\overline {{x_1}} }} = \frac{{\frac{{\sqrt {57} }}{6}}}{{21}} \approx 0,0599\)
Chiều dài gang tay của học sinh nữ có:
Phương sai:
\(s_2^2 = \frac{1}{{43}}\left( {16,{5^2}.3 + 17,{5^2}.6 + 18,{5^2}.17 + 19,{5^2}.14 + 20,{5^2}.2 + 21,{5^2}.1} \right) - {\left( {\frac{{1609}}{{86}}} \right)^2} \approx 1,1\)
Độ lệch chuẩn: \({s_2} = \sqrt {1,1} \approx 1,05\)
Hệ số biến thiên: \(c{v_2} = \frac{{{s_2}}}{{\overline {{x_2}} }} = \frac{{1,05}}{{\frac{{1609}}{{86}}}} \approx 0,0561\)
Vì \(c{v_1} > c{v_2}\) nên độ dài gang tay học sinh nam phân tán nhiều hơn độ dài gang tay học sinh nữ trong lớp.
Mục 2 trang 95 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức thường xoay quanh các chủ đề về giới hạn của hàm số. Việc nắm vững khái niệm giới hạn là nền tảng quan trọng để học tập các kiến thức tiếp theo trong chương trình Toán 12. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho từng bài tập trong mục 2, đồng thời phân tích phương pháp giải và các lưu ý quan trọng.
Mục 2 thường bao gồm các bài tập về:
Bài 1 thường yêu cầu học sinh tính giới hạn của các hàm số đơn giản. Để giải bài tập này, các em cần nắm vững các quy tắc tính giới hạn cơ bản, chẳng hạn như quy tắc cộng, trừ, nhân, chia giới hạn.
Ví dụ:
lim (x -> 2) (x^2 + 1)
Giải:
Áp dụng quy tắc tính giới hạn của tổng, ta có:
lim (x -> 2) (x^2 + 1) = lim (x -> 2) x^2 + lim (x -> 2) 1 = 2^2 + 1 = 5
Bài 2 thường yêu cầu học sinh tính giới hạn của các hàm số khi x tiến tới vô cùng. Để giải bài tập này, các em cần nắm vững các quy tắc tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng, chẳng hạn như quy tắc chia cả tử và mẫu cho x.
Ví dụ:
lim (x -> ∞) (2x + 1) / (x - 1)
Giải:
Chia cả tử và mẫu cho x, ta có:
lim (x -> ∞) (2x + 1) / (x - 1) = lim (x -> ∞) (2 + 1/x) / (1 - 1/x) = 2 / 1 = 2
Bài 3 thường yêu cầu học sinh ứng dụng kiến thức về giới hạn để giải các bài toán thực tế. Để giải bài tập này, các em cần phân tích bài toán, xác định các yếu tố liên quan đến giới hạn và xây dựng mô hình toán học phù hợp.
Ví dụ: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) = t^2 + 1 (m/s). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t = 2 (s).
Giải:
Quãng đường vật đi được là tích phân của vận tốc theo thời gian:
S = ∫[0, 2] v(t) dt = ∫[0, 2] (t^2 + 1) dt = [t^3/3 + t] |[0, 2] = (8/3 + 2) - (0 + 0) = 14/3 (m)
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài tập trong mục 2 trang 95 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
