Bài 14. Phương trình mặt phẳng

Trong chương trình Toán 12, chủ đề về phương pháp tọa độ trong không gian đóng vai trò quan trọng, và phương trình mặt phẳng là một phần không thể thiếu. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về lý thuyết, công thức và các dạng bài tập thường gặp liên quan đến phương trình mặt phẳng, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán.

I. Khái niệm cơ bản về mặt phẳng trong không gian

Mặt phẳng trong không gian là tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn một phương trình bậc nhất với ba ẩn x, y, z. Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:

Ax + By + Cz + D = 0

Trong đó:

• (A, B, C) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
• D là một hằng số.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng.

II. Các dạng phương trình mặt phẳng

1. Phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0
2. Phương trình tham số:
   • x = x₀ + at
   • y = y₀ + bt
   • z = z₀ + ct
   Trong đó (x₀, y₀, z₀) là một điểm thuộc mặt phẳng, (a, b, c) là vectơ chỉ phương của mặt phẳng.
3. Phương trình mặt phẳng qua ba điểm: Cho ba điểm A(x_A, y_A, z_A), B(x_B, y_B, z_B), C(x_C, y_C, z_C) không thẳng hàng. Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm này có thể được tìm bằng cách sử dụng định thức.

III. Các bài toán thường gặp về phương trình mặt phẳng

1. Tìm phương trình mặt phẳng khi biết vectơ pháp tuyến và một điểm thuộc mặt phẳng.
2. Tìm phương trình mặt phẳng khi biết ba điểm thuộc mặt phẳng.
3. Tìm phương trình mặt phẳng khi biết một điểm thuộc mặt phẳng và hai vectơ chỉ phương.
4. Xác định góc giữa hai mặt phẳng.
5. Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vectơ pháp tuyến n = (2, -1, 1).

Giải: Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: 2(x - 1) - (y - 2) + (z - 3) = 0. Tương đương với: 2x - y + z - 3 = 0.

Ví dụ 2: Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua ba điểm A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1).

Giải: Ta có các vectơ AB = (-1, 1, 0) và AC = (-1, 0, 1). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là n = AB x AC = (1, 1, 1). Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: (x - 1) + (y - 0) + (z - 0) = 0. Tương đương với: x + y + z - 1 = 0.

V. Luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em hãy tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(2, -1, 3) và song song với mặt phẳng 3x - 2y + z + 1 = 0.
• Bài 2: Tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm N(1, 1, 1) và vuông góc với đường thẳng d: x = 2 + t, y = 1 - t, z = 3 + 2t.
• Bài 3: Tính khoảng cách từ điểm P(0, 0, 0) đến mặt phẳng 2x + y - z + 3 = 0.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức hữu ích về phương trình mặt phẳng. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!