Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán thực tế bằng công cụ đạo hàm.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp đầy đủ lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để bạn có thể nắm vững kiến thức và tự tin làm bài.
Hãy cùng khám phá cách đạo hàm giúp chúng ta giải quyết các vấn đề tối ưu hóa, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và nhiều ứng dụng thú vị khác.
1. Tốc độ thay đổi của một đại lượng
1. Tốc độ thay đổi của một đại lượng
- Nếu s = s(t) là hàm vị trí của một vật chuyển đọng trên một đường thẳng thì v = s’(t) biểu thị vận tốc tức thời của vật. Tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo thời gian là gia tốc tức thời của vật: a(t) = v’(t) = s’’(t) - Nếu C = C(t) là nồng độ của một chất tham gia phản ứng hóa học tại thời điểm t, thì C’(t) là tốc độ phản ứng tức thời của chất đó tại thời điểm t - Nếu P = P(t) là số lượng cá thể trong một quần thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm t, thì P’(t) biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể tại thời điểm t - Nếu C = C(x) là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất x đơn vị hàng hóa, thì tốc độ thay đổi tức thời C’(x) của chi phí đó đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi là chi phí biên - Về ý nghĩa kinh tế, chi phí biên C’(x) xấp xỉ với chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa tiếp theo, tức là đơn vị hàng hóa thứ x + 1 |
Ví dụ: Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất 2m với vận tốc ban đầu 24,5 m/s là \(h(t) = 2 + 24,5t - 4,9{t^2}\)
a) Tìm vận tốc của vật sau 2s
b) Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu?
c) Khi nào thì vật chạm đất và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu?
Lời giải
a) Ta có: v = h’(t) = 24,5 – 9,8t (m/s)
Do đó v(2) = 24,5 – 9,8.2 = 4,9 (m/s)
b) Vì h(t) là hàm số bậc hai có hệ số a = -4,9 < 0 nên h(t) đạt giá trị lớn nhất tại \(t = - \frac{b}{{2a}} = 2,5s\). Khi đó, độ cao lớn nhất của vật là h(2,5) = 32,625 (m)
c) Vật chạm đất khi h = 0, tức là \(2 + 24,5t - 4,9{t^2} = 0\) hay \(t \approx 5,08s\)
Vận tốc của vật lúc chạm đất là v(5,08) = 24,5 – 9,8.5,08 = -25,284 (m/s)
Vận tốc âm chứng tỏ chiều chuyện động của vật là ngược chiều dương (hướng lên trên) của trục đã chọn
2. Một vài bài toán tối ưu hóa đơn giản
Quy trình giải một bài toán tối ưu hóa
Bước 1. Xác định đại lượng Q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng trong bài toán Bước 2. Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là x, và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo x. Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm số của một biến x. Tìm tập xác định của hàm số Q = Q(x) Bước 3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số Q = Q(x) bằng các phương pháp đã biết và kết luận |
Ví dụ: Một nhà sản xuất cần làm những hộp đựng hình trụ có thể tích 1 lít. Tìm các kích thước của hộp đựng để chi phí vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất
Đổi 1 lít = 1000 cm3
Gọi r (cm) là bán kính đáy của hình trụ, h (cm) là chiều cao của hình trụ
Diện tích toàn phần của hình trụ là \(S = 2\pi {r^2} + 2\pi rh\)
Do thể tích của hình trụ là 1000 cm3 nên ta có: \(V = \pi {r^2}h = 1000\) hay \(h = \frac{{1000}}{{\pi {r^2}}}\)
Do đó, diện tích toàn phần của hình trụ là \(S = 2\pi {r^2} + \frac{{2000}}{r},r > 0\)
Ta cần tìm r sao cho S đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có:
\(S' = 4\pi r - \frac{{2000}}{{{r^2}}} = \frac{{4\pi {r^3} - 2000}}{{{r^2}}};S' = 0 \Leftrightarrow \pi {r^3} = 500 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{{500}}{\pi }}}\)
BBT
Khi đó: \(h = \frac{{1000}}{{\pi {r^2}}} = \frac{{100}}{{\sqrt[3]{{250\pi }}}}\)
Vậy cần sản xuất các hộp đựng hình trụ có bán kính đáy \(r = \sqrt[3]{{\frac{{500}}{\pi }}} \approx 5,42(cm)\) và chiều cao \(h = \frac{{100}}{{\sqrt[3]{{250\pi }}}} \approx 10,84(cm)\)
Ứng dụng đạo hàm là một trong những chủ đề quan trọng của chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Chủ đề này không chỉ giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về ý nghĩa của đạo hàm mà còn rèn luyện kỹ năng tư duy logic và khả năng vận dụng kiến thức vào cuộc sống.
Trước khi đi vào các ứng dụng cụ thể, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về đạo hàm. Đạo hàm của một hàm số tại một điểm biểu thị tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại điểm đó. Đạo hàm có nhiều ứng dụng quan trọng, bao gồm:
Đây là một trong những ứng dụng quan trọng nhất của đạo hàm trong thực tế. Các bài toán tối ưu hóa thường gặp trong nhiều lĩnh vực khác nhau, như kinh tế, kỹ thuật, vật lý,...
Ví dụ 1: Một người nông dân muốn rào một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 100m2. Hỏi người đó cần sử dụng bao nhiêu mét hàng rào để rào khu vườn với chi phí thấp nhất?
Giải: Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn lần lượt là x và y. Diện tích khu vườn là xy = 100, suy ra y = 100/x. Chu vi của khu vườn là P = 2(x + y) = 2(x + 100/x). Để tìm giá trị nhỏ nhất của P, ta tính đạo hàm P' và giải phương trình P' = 0. Kết quả là x = 10, y = 10, và P = 40. Vậy người nông dân cần sử dụng 40 mét hàng rào.
Đạo hàm có thể được sử dụng để tính tốc độ thay đổi của một đại lượng nào đó theo thời gian hoặc theo một biến số khác.
Ví dụ 2: Một vật thể chuyển động theo phương trình s(t) = t3 - 3t2 + 2t, trong đó s(t) là quãng đường đi được sau thời gian t. Hỏi vận tốc của vật thể tại thời điểm t = 2 là bao nhiêu?
Giải: Vận tốc của vật thể là đạo hàm của quãng đường theo thời gian: v(t) = s'(t) = 3t2 - 6t + 2. Tại thời điểm t = 2, vận tốc của vật thể là v(2) = 3(2)2 - 6(2) + 2 = 2 m/s.
Các bài tập ứng dụng đạo hàm thường gặp trong các kỳ thi Toán THPT Quốc gia bao gồm:
Để giải các bài toán này, cần:
Để nắm vững kiến thức về ứng dụng đạo hàm, bạn cần luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. Giaibaitoan.com cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, cùng với đáp án chi tiết và lời giải dễ hiểu. Hãy truy cập giaibaitoan.com để bắt đầu hành trình chinh phục chủ đề này!
Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, bạn đã có cái nhìn tổng quan về ứng dụng đạo hàm trong thực tiễn Toán 12 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!
