Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 tại giaibaitoan.com. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 2 trang 82, 83, 84 sách giáo khoa Toán 12 tập 2 chương trình Kết nối tri thức.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong môn học Toán.
TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH THANG
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 84 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Sử dụng phương pháp hình thang, tính gần đúng \(\int\limits_1^2 {\frac{{{e^x}}}{x}dx} \) với độ chính xác 0,01.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương pháp hình thang để tính:
Giả sử hàm số f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó:
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \approx \frac{{b - a}}{{2n}}\left[ {f\left( {{x_0}} \right) + 2f\left( {{x_1}} \right) + 2f\left( {{x_2}} \right) + ... + 2f\left( {{x_{n - 1}}} \right) + f\left( {{x_n}} \right)} \right]\), ở đó đoạn [a; b] được chia thành n đoạn con \(\left[ {{x_0};{x_1}} \right],\left[ {{x_1};{x_2}} \right],...,\left[ {{x_{n - 1}},{x_n}} \right]\), mỗi đoạn có độ dài là \(\Delta x = \frac{{b - a}}{n}\).
Thuật toán: Để tính xấp xỉ \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) với độ chính xác không vượt quá số \(\varepsilon \) cho trước, ta thực hiện lần lượt các bước sau:
Bước 1: Tính f’’(x) và tìm \(M = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a;b} \right]} \left| {f''\left( x \right)} \right|\) (hoặc đánh giá \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a;b} \right]} \left| {f''\left( x \right)} \right| \le M\) nếu việc tìm chính xác là khó).
Bước 2. Với sai số \(\varepsilon \) cho trước, tìm số tự nhiên n (nhỏ nhất) sao cho \(\left| E \right| \le \frac{{{{\left( {b - a} \right)}^3}M}}{{12{n^2}}} < \varepsilon \)
Bước 3. Chia đoạn [a; b] thành n đoạn con có độ dài bằng nhau và áp dụng công thức hình thang.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(f'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{e^x}}}{x}} \right)'} = \frac{{{e^x}.x - {e^x}}}{{{x^2}}},\) \(f''\left( x \right) = {\left( {\frac{{{e^x}.x - {e^x}}}{{{x^2}}}} \right)} = \frac{{{e^x}.{x^3} - 2{x^2}.{e^x} + 2x.{e^x}}}{{{x^4}}} = \frac{{{e^x}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)}}{{{x^3}}}\)
\(f'''\left( x \right) = \frac{{ - 6.{e^x} + 6x.{e^x} - 3{x^2}{e^x} + {x^3}{e^x}}}{{{x^4}}} = \frac{{{e^x}\left( {{x^3} - 3{x^2} + 6x - 6} \right)}}{{{x^4}}}\)
\(f'''\left( x \right) = 0\) thì \(x \approx 1,596\)
Ta có: \(f''\left( 1 \right) = e,f''\left( {1,569} \right) = \frac{{1,355216{e^{1,569}}}}{{1,{{569}^3}}},f''\left( 2 \right) = \frac{{{e^2}}}{4}\)
Do đó, \(M = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} \left| {f''\left( x \right)} \right| = \left| {f'\left( 2 \right)} \right| = \frac{{{e^2}}}{4}\)
Ta cần tìm n sao cho: \(\frac{{{{\left( {2 - 1} \right)}^3}.\frac{{{e^2}}}{4}}}{{12{n^2}}} < 0,01 \Leftrightarrow \frac{{{e^2}}}{{48{n^2}}} < 0,01 \Leftrightarrow n > \frac{{5e}}{{2\sqrt 3 }}\)
Do đó, ta chọn \(n = 5\)
Chia đoạn [1; 2] thành 5 đoạn bằng nhau là [1; 1,2], [1,2; 1,4], [1,4; 1,6], [1,6; 1,8], [1,8; 2].
Áp dụng công thức hình thang ta có:
\(\int\limits_1^2 {\frac{{{e^x}}}{x}dx} \approx \frac{{2 - 1}}{{10}}\left( {\frac{{{e^1}}}{1} + \frac{{2{e^{1,2}}}}{{1,2}} + \frac{{2{e^{1,4}}}}{{1,4}} + \frac{{2{e^{1,6}}}}{{1,6}} + \frac{{2{e^{1,8}}}}{{1,8}} + \frac{{{e^2}}}{2}} \right) \approx 3,065\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 84 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Một thân cây dài 4,8m được cắt thành các khúc gỗ dài 60cm. Người ta đo đường kính của mỗi mặt cắt ngang và diện tích S của nó được ghi lại trong bảng dưới đây, ở đây x(cm) là khoảng cách tính từ đỉnh cây đến vết cắt.
Tính thể tích gần đúng của thân cây này.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương pháp hình thang để tính:
Giả sử hàm số f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó:
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \approx \frac{{b - a}}{{2n}}\left[ {f\left( {{x_0}} \right) + 2f\left( {{x_1}} \right) + 2f\left( {{x_2}} \right) + ... + 2f\left( {{x_{n - 1}}} \right) + f\left( {{x_n}} \right)} \right]\), ở đó đoạn [a; b] được chia thành n đoạn con \(\left[ {{x_0};{x_1}} \right],\left[ {{x_1};{x_2}} \right],...,\left[ {{x_{n - 1}},{x_n}} \right]\), mỗi đoạn có độ dài là \(\Delta x = \frac{{b - a}}{n}\).
Lời giải chi tiết:
Thế tích gần đúng của thân cây này là: \(V = \int\limits_0^{480} {S\left( x \right)dx} \)
Theo công thức hình thang ta có:
\(\int\limits_0^{480} {S\left( x \right)dx} \approx \frac{{480}}{{2.9}}\left[ {240 + 2.248 + 2.256 + 2.260 + 2.264 + 2.272 + 2.298 + 2.316 + 320} \right] \approx \frac{{351040}}{3}\)
Vậy thể tích thân cây khoảng \(\frac{{351040}}{3}c{m^3}\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 84 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Sử dụng phương pháp hình thang, tính gần đúng \(\int\limits_1^2 {\frac{{{e^x}}}{x}dx} \) với độ chính xác 0,01.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương pháp hình thang để tính:
Giả sử hàm số f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó:
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \approx \frac{{b - a}}{{2n}}\left[ {f\left( {{x_0}} \right) + 2f\left( {{x_1}} \right) + 2f\left( {{x_2}} \right) + ... + 2f\left( {{x_{n - 1}}} \right) + f\left( {{x_n}} \right)} \right]\), ở đó đoạn [a; b] được chia thành n đoạn con \(\left[ {{x_0};{x_1}} \right],\left[ {{x_1};{x_2}} \right],...,\left[ {{x_{n - 1}},{x_n}} \right]\), mỗi đoạn có độ dài là \(\Delta x = \frac{{b - a}}{n}\).
Thuật toán: Để tính xấp xỉ \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) với độ chính xác không vượt quá số \(\varepsilon \) cho trước, ta thực hiện lần lượt các bước sau:
Bước 1: Tính f’’(x) và tìm \(M = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a;b} \right]} \left| {f''\left( x \right)} \right|\) (hoặc đánh giá \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a;b} \right]} \left| {f''\left( x \right)} \right| \le M\) nếu việc tìm chính xác là khó).
Bước 2. Với sai số \(\varepsilon \) cho trước, tìm số tự nhiên n (nhỏ nhất) sao cho \(\left| E \right| \le \frac{{{{\left( {b - a} \right)}^3}M}}{{12{n^2}}} < \varepsilon \)
Bước 3. Chia đoạn [a; b] thành n đoạn con có độ dài bằng nhau và áp dụng công thức hình thang.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(f'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{e^x}}}{x}} \right)'} = \frac{{{e^x}.x - {e^x}}}{{{x^2}}},\) \(f''\left( x \right) = {\left( {\frac{{{e^x}.x - {e^x}}}{{{x^2}}}} \right)} = \frac{{{e^x}.{x^3} - 2{x^2}.{e^x} + 2x.{e^x}}}{{{x^4}}} = \frac{{{e^x}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)}}{{{x^3}}}\)
\(f'''\left( x \right) = \frac{{ - 6.{e^x} + 6x.{e^x} - 3{x^2}{e^x} + {x^3}{e^x}}}{{{x^4}}} = \frac{{{e^x}\left( {{x^3} - 3{x^2} + 6x - 6} \right)}}{{{x^4}}}\)
\(f'''\left( x \right) = 0\) thì \(x \approx 1,596\)
Ta có: \(f''\left( 1 \right) = e,f''\left( {1,569} \right) = \frac{{1,355216{e^{1,569}}}}{{1,{{569}^3}}},f''\left( 2 \right) = \frac{{{e^2}}}{4}\)
Do đó, \(M = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} \left| {f''\left( x \right)} \right| = \left| {f'\left( 2 \right)} \right| = \frac{{{e^2}}}{4}\)
Ta cần tìm n sao cho: \(\frac{{{{\left( {2 - 1} \right)}^3}.\frac{{{e^2}}}{4}}}{{12{n^2}}} < 0,01 \Leftrightarrow \frac{{{e^2}}}{{48{n^2}}} < 0,01 \Leftrightarrow n > \frac{{5e}}{{2\sqrt 3 }}\)
Do đó, ta chọn \(n = 5\)
Chia đoạn [1; 2] thành 5 đoạn bằng nhau là [1; 1,2], [1,2; 1,4], [1,4; 1,6], [1,6; 1,8], [1,8; 2].
Áp dụng công thức hình thang ta có:
\(\int\limits_1^2 {\frac{{{e^x}}}{x}dx} \approx \frac{{2 - 1}}{{10}}\left( {\frac{{{e^1}}}{1} + \frac{{2{e^{1,2}}}}{{1,2}} + \frac{{2{e^{1,4}}}}{{1,4}} + \frac{{2{e^{1,6}}}}{{1,6}} + \frac{{2{e^{1,8}}}}{{1,8}} + \frac{{{e^2}}}{2}} \right) \approx 3,065\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 84 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Một thân cây dài 4,8m được cắt thành các khúc gỗ dài 60cm. Người ta đo đường kính của mỗi mặt cắt ngang và diện tích S của nó được ghi lại trong bảng dưới đây, ở đây x(cm) là khoảng cách tính từ đỉnh cây đến vết cắt.
Tính thể tích gần đúng của thân cây này.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương pháp hình thang để tính:
Giả sử hàm số f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó:
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \approx \frac{{b - a}}{{2n}}\left[ {f\left( {{x_0}} \right) + 2f\left( {{x_1}} \right) + 2f\left( {{x_2}} \right) + ... + 2f\left( {{x_{n - 1}}} \right) + f\left( {{x_n}} \right)} \right]\), ở đó đoạn [a; b] được chia thành n đoạn con \(\left[ {{x_0};{x_1}} \right],\left[ {{x_1};{x_2}} \right],...,\left[ {{x_{n - 1}},{x_n}} \right]\), mỗi đoạn có độ dài là \(\Delta x = \frac{{b - a}}{n}\).
Lời giải chi tiết:
Thế tích gần đúng của thân cây này là: \(V = \int\limits_0^{480} {S\left( x \right)dx} \)
Theo công thức hình thang ta có:
\(\int\limits_0^{480} {S\left( x \right)dx} \approx \frac{{480}}{{2.9}}\left[ {240 + 2.248 + 2.256 + 2.260 + 2.264 + 2.272 + 2.298 + 2.316 + 320} \right] \approx \frac{{351040}}{3}\)
Vậy thể tích thân cây khoảng \(\frac{{351040}}{3}c{m^3}\)
Mục 2 của chương trình Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức thường tập trung vào một chủ đề cụ thể, ví dụ như ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số, hoặc các bài toán về tích phân. Việc nắm vững lý thuyết và phương pháp giải là yếu tố then chốt để giải quyết các bài tập trong mục này.
Bài 1 thường là các bài tập cơ bản để kiểm tra việc hiểu bài của học sinh. Các bài tập này có thể yêu cầu tính đạo hàm, tìm cực trị, hoặc khảo sát sự biến thiên của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các công thức đạo hàm và quy tắc tính đạo hàm.
Bài 2 có thể là các bài tập nâng cao hơn, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Ví dụ, học sinh có thể cần tìm điểm uốn của hàm số, hoặc khảo sát hàm số trên một khoảng xác định.
Bài 3 thường là các bài tập ứng dụng thực tế, yêu cầu học sinh sử dụng kiến thức toán học để giải quyết các vấn đề trong đời sống. Ví dụ, học sinh có thể cần tính tốc độ thay đổi của một đại lượng nào đó, hoặc tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của một hàm số trong một bài toán thực tế.
Bài tập: Tìm cực trị của hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
Giải:
Khi giải bài tập Toán 12, học sinh cần chú ý đến các điều kiện của bài toán, ví dụ như miền xác định của hàm số, hoặc các ràng buộc về giá trị của biến. Việc bỏ qua các điều kiện này có thể dẫn đến kết quả sai.
Hy vọng rằng với những hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trên, các em học sinh đã có thể tự tin giải quyết các bài tập trong mục 2 trang 82, 83, 84 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!
