Giải bài tập 5.43 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {1;0;2} \right)\) và hai đường thẳng d: \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{2}\), \(d':\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\).

a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d’.

b) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua A và song song với đường thẳng d.

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và d.

d) Tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz).

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng d nhận \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;2;2} \right)\) làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm \(C\left( {0;1;0} \right).\)

Đường thẳng d’ nhận \(\overrightarrow {{u_2}} \left( {2;2; - 1} \right)\) làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm \(B\left( { - 1; - {\rm{2}};3} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {CB} \left( { - 1; - 3;3} \right),\) \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&2\\2&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\{ - 1}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\2&2\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 6;5; - 2} \right) \ne \overrightarrow 0 \)

Vì \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {CB} = \left( { - 6} \right).\left( { - 1} \right) + 5.\left( { - 3} \right) + \left( { - 2} \right).3 = 6 - 15 - 6 = - 15 \ne 0\) nên d, d’ chéo nhau.

b) Đường đường thẳng \(\Delta \) đi qua A và nhận \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;2;2} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên phương trình tham số đường thẳng \(\Delta \) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2t\\z = 2 + 2t\end{array} \right.\)

c) Vì \(\frac{1}{1} \ne \frac{{0 - 1}}{2}\) nên điểm \(A\left( {1;0;2} \right)\) không thuộc đường thẳng d. \(C\left( {0;1;0} \right).\)\(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;2;2} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {AC} \left( { - 1;1; - 2} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {{u_1}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\2&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&{ - 1}\\2&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\1&2\end{array}} \right|} \right) = \left( {6;0; - 3} \right)\)

Mặt phẳng (P) đi qua \(A\left( {1;0;2} \right)\) và nhận \(\frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {{u_1}} } \right] = \left( {2;0; - 1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (P) là: \(2\left( {x - 1} \right) - \left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - z = 0\)

d) Phương trình mặt phẳng (Oxz) là: \(y = 0\)

Phương trình tham số của đường thẳng (d) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 + 2t\\z = 2t\end{array} \right.\). Tọa độ giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz) là \(\left( {t;1 + 2t;2t} \right)\).

Thay \(x = t,y = 1 + 2t,z = 2t\) vào phương trình mặt phẳng (Oxz) ta có: \(1 + 2t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{ - 1}}{2}\)

Do đó, giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz) là: \(\left( {\frac{{ - 1}}{2};0; - 1} \right)\).