Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách giải bài tập 1.31 trang 42 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập tốt nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên (mathbb{R})? A. (y = - {x^3} + 3{x^2} - 9x); B. (y = - {x^3} + x + 1); C. (y = frac{{x - 1}}{{x - 2}}); D. (y = 2{x^2} + 3x + 2).
Đề bài
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)?A. \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 9x\);B. \(y = - {x^3} + x + 1\);C. \(y = \frac{{x - 1}}{{x - 2}}\);D. \(y = 2{x^2} + 3x + 2\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định lí về tính nghịch biến của hàm số để tìm đáp án đúng: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên khoảng (a; b). Nếu \(f'\left( x \right) < 0\) với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên (a; b).
Lời giải chi tiết
Hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 9x\) có:
\(y' = - 3{x^2} + 6x - 9 = - 3\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 6 = - 3{\left( {x - 1} \right)^2} - 6\).
Vì \({(x - 1)^2} \ge 0 \Leftrightarrow - 3{(x - 1)^2} \le 0 \Leftrightarrow - 3{(x - 1)^2} - 6 < 0\) \(\forall x \in \mathbb{R}\).
Suy ra y' < 0 \(\forall x \in \mathbb{R}\).
Do đó, hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 9x\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Chọn A.
Bài tập 1.31 trang 42 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức thuộc chương 1: Hàm số và đồ thị. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số bậc hai, điều kiện xác định của hàm số và các phép biến đổi hàm số để giải quyết.
Bài tập 1.31 yêu cầu xét hàm số sau:
f(x) = √(2x - 1) / (x - 3)
a) Xác định tập xác định của hàm số.
b) Tìm tập giá trị của hàm số.
Để hàm số f(x) = √(2x - 1) / (x - 3) xác định, cần thỏa mãn hai điều kiện sau:
Giải điều kiện thứ nhất:
2x - 1 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ 1 ⇔ x ≥ 1/2
Giải điều kiện thứ hai:
x - 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ 3
Vậy, tập xác định của hàm số là:
D = [1/2; 3) ∪ (3; +∞)
Để tìm tập giá trị của hàm số, ta cần xét đạo hàm của hàm số và tìm các điểm cực trị. Tuy nhiên, việc tính đạo hàm của hàm số này khá phức tạp. Thay vào đó, ta có thể xét hàm số g(x) = √(2x - 1) và h(x) = x - 3.
Hàm số g(x) = √(2x - 1) có tập giá trị là [0; +∞). Hàm số h(x) = x - 3 có tập giá trị là (-∞; +∞).
Do đó, tập giá trị của hàm số f(x) = √(2x - 1) / (x - 3) là tập hợp các giá trị y sao cho phương trình f(x) = y có nghiệm.
Ta có:
√(2x - 1) / (x - 3) = y
√(2x - 1) = y(x - 3)
Bình phương hai vế:
2x - 1 = y2(x - 3)2
2x - 1 = y2(x2 - 6x + 9)
2x - 1 = y2x2 - 6y2x + 9y2
y2x2 - (6y2 + 2)x + (9y2 + 1) = 0
Đây là phương trình bậc hai theo x. Để phương trình có nghiệm, điều kiện là:
Δ = (6y2 + 2)2 - 4y2(9y2 + 1) ≥ 0
36y4 + 24y2 + 4 - 36y4 - 4y2 ≥ 0
20y2 + 4 ≥ 0
Điều kiện này luôn đúng với mọi y.
Tuy nhiên, cần lưu ý rằng y(x - 3) ≥ 0. Do đó, nếu y > 0 thì x ≥ 3, và nếu y < 0 thì x ≤ 3.
Vậy, tập giá trị của hàm số là tập hợp các giá trị y thỏa mãn điều kiện trên.
Bài tập 1.31 trang 42 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về tập xác định và tập giá trị của hàm số. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn đã có thể giải bài tập một cách dễ dàng và hiệu quả.
Hãy tiếp tục luyện tập và khám phá thêm nhiều bài tập khác tại giaibaitoan.com để nâng cao kiến thức và kỹ năng giải toán của mình.
