Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

I. Lý thuyết cơ bản

Trong chương trình Toán 12, việc tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của hàm số là một chủ đề quan trọng, đặc biệt trong việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Dưới đây là tổng hợp lý thuyết cơ bản cần nắm vững:

1. Định nghĩa

• Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên khoảng (a, b): M là giá trị lớn nhất của f(x) trên (a, b) nếu f(x) ≤ M với mọi x ∈ (a, b) và tồn tại x₀ ∈ (a, b) sao cho f(x₀) = M.
• Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên khoảng (a, b): m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên (a, b) nếu f(x) ≥ m với mọi x ∈ (a, b) và tồn tại x₀ ∈ (a, b) sao cho f(x₀) = m.

2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x₀

Nếu hàm số f(x) đạt cực trị tại x₀ thì f'(x₀) = 0 hoặc f'(x₀) không tồn tại.

3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị tại x₀

• Hàm số đạt cực đại tại x₀ khi f'(x₀) = 0 và f''(x₀) < 0.
• Hàm số đạt cực tiểu tại x₀ khi f'(x₀) = 0 và f''(x₀) > 0.

II. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1. Tìm tập xác định của hàm số

Xác định khoảng xác định của hàm số là bước đầu tiên và quan trọng để đảm bảo tính chính xác của kết quả.

2. Tính đạo hàm cấp nhất f'(x)

Đạo hàm cấp nhất giúp xác định các điểm tới hạn, nơi có thể xảy ra cực trị.

3. Tìm các điểm tới hạn

Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm tới hạn. Kiểm tra các điểm mà f'(x) không tồn tại.

4. Tính đạo hàm cấp hai f''(x)

Đạo hàm cấp hai được sử dụng để xác định loại cực trị tại các điểm tới hạn.

5. Xác định cực đại, cực tiểu

Sử dụng điều kiện đủ để xác định các điểm cực đại và cực tiểu.

6. Tính giá trị hàm số tại các điểm cực trị và các điểm đầu mút của khoảng xác định

So sánh các giá trị này để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng xác định.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên đoạn [-1; 3].

1. Tập xác định: [-1; 3]
2. Đạo hàm cấp nhất: f'(x) = 3x² - 6x
3. Điểm tới hạn: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
4. Đạo hàm cấp hai: f''(x) = 6x - 6
5. Xác định cực trị:
   • f''(0) = -6 < 0 => Hàm số đạt cực đại tại x = 0, f(0) = 2
   • f''(2) = 6 > 0 => Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, f(2) = -2
6. Tính giá trị tại các điểm:
   • f(-1) = -6
   • f(0) = 2
   • f(2) = -2
   • f(3) = 8
7. Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-1; 3] là 8 (tại x = 3). Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1; 3] là -6 (tại x = -1).

IV. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 2x² - 4x + 3 trên đoạn [0; 2].
• Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ - 6x² + 9x + 1 trên đoạn [0; 4].

Giaibaitoan.com hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức hữu ích về chủ đề giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Chúc các em học tập tốt!