Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 tại giaibaitoan.com. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 3 trang 52, 53, 54 sách giáo khoa Toán 12 tập 1 chương trình Kết nối tri thức.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong môn học Toán.
Tích của một số với một vectơ trong không gian
Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 53 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Hai vectơ \(1\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a \) có bằng nhau không? Hai vectơ \(\left( { - 1} \right)\overrightarrow a \) và \( - \overrightarrow a \) có bằng nhau không?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về hai vectơ bằng nhau để chứng minh: Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) được gọi là bằng nhau, kí hiệu \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \) nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Lời giải chi tiết:
Hai vectơ \(1\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a \) bằng nhau vì chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Hai vectơ \(\left( { - 1} \right)\overrightarrow a \) và \( - \overrightarrow a \) bằng nhau chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 52 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC (H.2.17)
a) Hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) có cùng phương không? Có cùng hướng không?
b) Giải thích vì sao \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {B'C'} } \right|\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về hai vectơ cùng phương để chứng minh: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
b) Sử dụng kiến thức về độ dài của vectơ trong không gian để chứng minh: Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của vectơ \(\overrightarrow a \) được kí hiệu là \(\left| {\overrightarrow a } \right|\).
Lời giải chi tiết:
a) Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN//BC.
Vì BCC’B’ là hình bình hành nên BC//B’C’. Suy ra: MN//B’C’.
Do đó hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) có cùng phương và cùng hướng.
b) Vì BCC’B’ là hình bình hành nên \(BC = B'C'\)
Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên \(MN = \frac{1}{2}BC\)
Suy ra: \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {B'C'} } \right|\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 53SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB sao cho \(SE = \frac{1}{3}SA,SF = \frac{1}{3}SB\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DC} \).
Phương pháp giải:
+ Sử dụng kiến thức về khái niệm tích của một số với một vectơ trong không gian để chứng minh: Trong không gian, tích của một số thực \(k \ne 0\) với một vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) là một vectơ, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \) được xác định như sau:
- Cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\), ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\).
- Có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\).
+ Sử dụng kiến thức về hai vectơ bằng nhau để chứng minh: Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) được gọi là bằng nhau, kí hiệu \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \) nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Lời giải chi tiết:
Vì \(SE = \frac{1}{3}SA,SF = \frac{1}{3}SB \Rightarrow \frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SF}}{{SB}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)\)
Tam giác SAB có: \(\frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SF}}{{SB}}\) nên FE//AB và \(EF = \frac{1}{3}AB\).
Vì hai vectơ \(\overrightarrow {EF} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \) (1)
Vì ABCD là hình bình hành nên \(AB = CD\) và AB//CD. Do đó, \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DC} \)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 54SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong Ví dụ 8, gọi I là điểm thuộc đoạn thẳng AG sao cho \(\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {IG} \) (H.2.19). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm tích của một số với một vectơ trong không gian để chứng minh: Trong không gian, tích của một số thực \(k \ne 0\) với một vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) là một vectơ, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \) được xác định như sau:
- Cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\), ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\).
- Có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\).
Lời giải chi tiết:
Theo ví dụ 8 ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {ID} = 3\overrightarrow {AG} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = 3\overrightarrow {AG} - 3\overrightarrow {AI} = 3\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {IA} } \right) = 3\overrightarrow {IG} = \overrightarrow {AI} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 8 trang 54SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của bốn lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học (H.2.20). Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ 900km/h lên 920km/h, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc 900km/h và 920km/h lần lượt được biểu diễn bởi hai vectơ \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \). Hãy giải thích vì sao \(\overrightarrow {{F_1}} = k\overrightarrow {{F_2}} \) với k là một số thực dương nào đó. Tính giá trị của k (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm tích của một số với một vectơ trong không gian để giải bài toán: Trong không gian, tích của một số thực \(k \ne 0\) với một vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) là một vectơ, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \) được xác định như sau:
- Cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\), ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\).
- Có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\).
Lời giải chi tiết:
Vì trong quá trình máy bay tăng vận tốc từ 900km/h lên 920km/h máy bay giữ nguyên hướng bay nên vectơ \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) có cùng hướng. Do đó, \(\overrightarrow {{F_1}} = k\overrightarrow {{F_2}} \) với k là một số thực dương nào đó (1).
Gọi \({v_1},{v_2}\) lần lượt là vận tốc của của chiếc máy bay khi đạt 900km/h và 920km/h.
Suy ra \({v_1} = 900\left( {km/h} \right),{v_2} = 920\left( {km/h} \right)\)
Vì lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay nên
\(\frac{{\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}} = \frac{{v_1^2}}{{v_2^2}} = \frac{{{{900}^2}}}{{{{920}^2}}} = \frac{{2025}}{{2116}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \frac{{2025}}{{2116}}\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|\) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow {{F_1}} = \frac{{2025}}{{2116}}\overrightarrow {{F_2}} \Rightarrow k = \frac{{2025}}{{2116}} \approx 0,96\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 52 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC (H.2.17)
a) Hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) có cùng phương không? Có cùng hướng không?
b) Giải thích vì sao \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {B'C'} } \right|\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về hai vectơ cùng phương để chứng minh: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
b) Sử dụng kiến thức về độ dài của vectơ trong không gian để chứng minh: Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của vectơ \(\overrightarrow a \) được kí hiệu là \(\left| {\overrightarrow a } \right|\).
Lời giải chi tiết:
a) Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN//BC.
Vì BCC’B’ là hình bình hành nên BC//B’C’. Suy ra: MN//B’C’.
Do đó hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) có cùng phương và cùng hướng.
b) Vì BCC’B’ là hình bình hành nên \(BC = B'C'\)
Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên \(MN = \frac{1}{2}BC\)
Suy ra: \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {B'C'} } \right|\).
Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 53 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Hai vectơ \(1\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a \) có bằng nhau không? Hai vectơ \(\left( { - 1} \right)\overrightarrow a \) và \( - \overrightarrow a \) có bằng nhau không?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về hai vectơ bằng nhau để chứng minh: Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) được gọi là bằng nhau, kí hiệu \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \) nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Lời giải chi tiết:
Hai vectơ \(1\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a \) bằng nhau vì chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Hai vectơ \(\left( { - 1} \right)\overrightarrow a \) và \( - \overrightarrow a \) bằng nhau chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 53SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB sao cho \(SE = \frac{1}{3}SA,SF = \frac{1}{3}SB\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DC} \).
Phương pháp giải:
+ Sử dụng kiến thức về khái niệm tích của một số với một vectơ trong không gian để chứng minh: Trong không gian, tích của một số thực \(k \ne 0\) với một vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) là một vectơ, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \) được xác định như sau:
- Cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\), ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\).
- Có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\).
+ Sử dụng kiến thức về hai vectơ bằng nhau để chứng minh: Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) được gọi là bằng nhau, kí hiệu \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \) nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Lời giải chi tiết:
Vì \(SE = \frac{1}{3}SA,SF = \frac{1}{3}SB \Rightarrow \frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SF}}{{SB}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)\)
Tam giác SAB có: \(\frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SF}}{{SB}}\) nên FE//AB và \(EF = \frac{1}{3}AB\).
Vì hai vectơ \(\overrightarrow {EF} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \) (1)
Vì ABCD là hình bình hành nên \(AB = CD\) và AB//CD. Do đó, \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DC} \)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 54SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong Ví dụ 8, gọi I là điểm thuộc đoạn thẳng AG sao cho \(\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {IG} \) (H.2.19). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm tích của một số với một vectơ trong không gian để chứng minh: Trong không gian, tích của một số thực \(k \ne 0\) với một vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) là một vectơ, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \) được xác định như sau:
- Cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\), ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\).
- Có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\).
Lời giải chi tiết:
Theo ví dụ 8 ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {ID} = 3\overrightarrow {AG} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = 3\overrightarrow {AG} - 3\overrightarrow {AI} = 3\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {IA} } \right) = 3\overrightarrow {IG} = \overrightarrow {AI} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 8 trang 54SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của bốn lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học (H.2.20). Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ 900km/h lên 920km/h, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc 900km/h và 920km/h lần lượt được biểu diễn bởi hai vectơ \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \). Hãy giải thích vì sao \(\overrightarrow {{F_1}} = k\overrightarrow {{F_2}} \) với k là một số thực dương nào đó. Tính giá trị của k (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm tích của một số với một vectơ trong không gian để giải bài toán: Trong không gian, tích của một số thực \(k \ne 0\) với một vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) là một vectơ, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \) được xác định như sau:
- Cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\), ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\).
- Có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\).
Lời giải chi tiết:
Vì trong quá trình máy bay tăng vận tốc từ 900km/h lên 920km/h máy bay giữ nguyên hướng bay nên vectơ \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) có cùng hướng. Do đó, \(\overrightarrow {{F_1}} = k\overrightarrow {{F_2}} \) với k là một số thực dương nào đó (1).
Gọi \({v_1},{v_2}\) lần lượt là vận tốc của của chiếc máy bay khi đạt 900km/h và 920km/h.
Suy ra \({v_1} = 900\left( {km/h} \right),{v_2} = 920\left( {km/h} \right)\)
Vì lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay nên
\(\frac{{\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}} = \frac{{v_1^2}}{{v_2^2}} = \frac{{{{900}^2}}}{{{{920}^2}}} = \frac{{2025}}{{2116}} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \frac{{2025}}{{2116}}\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|\) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow {{F_1}} = \frac{{2025}}{{2116}}\overrightarrow {{F_2}} \Rightarrow k = \frac{{2025}}{{2116}} \approx 0,96\)
Mục 3 của chương trình Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu về giới hạn của hàm số. Đây là một khái niệm nền tảng quan trọng, đóng vai trò then chốt trong việc hiểu và giải quyết các bài toán về đạo hàm, tích phân và các ứng dụng của chúng trong các lĩnh vực khác.
Mục 3 bao gồm các nội dung chính sau:
Để giải các bài tập trong Mục 3, các em cần nắm vững các khái niệm và tính chất cơ bản về giới hạn. Dưới đây là một số phương pháp giải bài tập thường gặp:
Bài 1: Tính giới hạn lim (2x + 1) khi x -> 2. Lời giải: Áp dụng tính chất giới hạn của hàm đa thức, ta có lim (2x + 1) = 2*2 + 1 = 5.
Bài 2: Tính giới hạn lim (x^2 - 4) / (x - 2) khi x -> 2. Lời giải: Sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử, ta có lim (x^2 - 4) / (x - 2) = lim (x + 2) = 4.
Bài 3: Tính giới hạn lim (sin x) / x khi x -> 0. Lời giải: Sử dụng giới hạn đặc biệt, ta có lim (sin x) / x = 1.
Bài 4: Tính giới hạn lim (1 + x)^ (1/x) khi x -> 0. Lời giải: Sử dụng định nghĩa số e, ta có lim (1 + x)^ (1/x) = e.
Bài 5: Tính giới hạn lim (x^2 + 1) / (x^2 - 1) khi x -> ∞. Lời giải: Chia cả tử và mẫu cho x^2, ta có lim (x^2 + 1) / (x^2 - 1) = lim (1 + 1/x^2) / (1 - 1/x^2) = 1.
Bài 6: Tính giới hạn lim (√(x + 1) - √x) khi x -> ∞. Lời giải: Nhân và chia với liên hợp, ta có lim (√(x + 1) - √x) = lim 1 / (√(x + 1) + √x) = 0.
Khi giải các bài tập về giới hạn, các em cần chú ý những điều sau:
Hy vọng với những hướng dẫn chi tiết trên, các em sẽ tự tin giải quyết các bài tập trong Mục 3 trang 52, 53, 54 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!
