Giải Bài Toán Bài Toán Tương Giao Hàm Trùng Phương Chứa Tham Số

Bạn đang xem tài liệu bài toán tương giao hàm trùng phương chứa tham số được biên soạn theo soạn toán mới nhất. Tài liệu này hệ thống hóa kiến thức một cách khoa học, phù hợp cho mọi lộ trình học từ cơ bản đến nâng cao. Hãy khai thác triệt để nội dung để bứt phá điểm số và tự tin chinh phục mọi kỳ thi nhé!

Bài viết hướng dẫn phương pháp tìm điều kiện tham số liên quan đến bài toán tương giao hàm trùng phương trong chương trình Giải tích 12: ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

Bài viết này tập trung vào phương pháp giải các bài toán liên quan đến sự tương giao của hàm trùng phương $y = f(x) = ax^4 + bx^2 + c$ (với $a \neq 0$) và các đường thẳng, trục hoành, đặc biệt là khi có tham số. Chúng ta sẽ sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và xác định điều kiện để đồ thị hàm số có số giao điểm mong muốn.

I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Để giải quyết bài toán tương giao hàm trùng phương, ta thường thực hiện các bước sau:

Đặt ẩn phụ: Đặt $t = x^2 \geq 0$. Khi đó, phương trình hoành độ giao điểm $ax^4 + bx^2 + c = 0$ trở thành $at^2 + bt + c = 0$.
Giải phương trình bậc hai: Giải phương trình $at^2 + bt + c = 0$ để tìm các nghiệm $t_1, t_2$.
Xác định điều kiện của t: Vì $t = x^2 \geq 0$, nên ta cần xét điều kiện $t_1 \geq 0$ và $t_2 \geq 0$.
Tìm số giao điểm: Dựa vào số nghiệm dương của phương trình bậc hai, ta xác định số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành hoặc đường thẳng cho trước.

Bảng tóm tắt số giao điểm và điều kiện:

Số giao điểm của đồ thị $(C)$ với trục $Ox$	Điều kiện
Có bốn giao điểm phân biệt	Phương trình $(2)$ có hai nghiệm phân biệt dương $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\Delta = {b^2} – 4ac > 0}\\ { – \frac{b}{a} > 0,\frac{c}{a} > 0} \end{array}} \right.$
Có ba giao điểm phân biệt	Phương trình $(2)$ có một nghiệm bằng $0$ và nghiệm còn lại dương $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {c = 0}\\ { – \frac{b}{a} > 0} \end{array}} \right.$
Có hai giao điểm phân biệt	Phương trình $(2)$ có một nghiệm dương và nghiệm còn lại âm hoặc phương trình $(2)$ có nghiệm kép dương $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{{20}{c}} {ac < 0}\\ {\left\{ {\begin{array}{{20}{c}} {\Delta = 0}\\ { – \frac{b}{{2a}} > 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$

Nhận xét và phân tích:

Việc đặt $t = x^2$ là một kỹ thuật quan trọng để đưa bài toán về phương trình bậc hai, đơn giản hóa việc tìm nghiệm.
Điều kiện $t \geq 0$ là yếu tố then chốt để xác định số giao điểm thực tế của đồ thị hàm số.
Trong quá trình giải, cần chú ý đến các trường hợp đặc biệt như phương trình bậc hai có nghiệm kép, nghiệm âm, hoặc nghiệm bằng 0.

Các trường hợp đặc biệt:

Nếu $a + b + c = 0$ thì phương trình $at^2 + bt + c = 0$ có hai nghiệm là $t = 1$ và $t = \frac{c}{a}$.
Nếu $a – b + c = 0$ thì phương trình $at^2 + bt + c = 0$ có hai nghiệm là $t = – 1$ và $t = – \frac{c}{a}$.
Nếu đồ thị hàm số $y = f(x) = ax^4 + bx^2 + c$ cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng thì $9b^2 = 100ac$. (Đây là điều kiện cần, cần kiểm tra lại bằng cách thay vào phương trình hoành độ giao điểm).

II. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực $m$ để đồ thị hàm số $f(x) = x^4 – 2x^2 + 3 – m$ cắt trục hoành:

Tại bốn điểm phân biệt.
Tại ba điểm phân biệt.
Tại hai điểm phân biệt.
Không cắt trục hoành.

Giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: $x^4 – 2x^2 + 3 – m = 0$. Đặt $t = x^2 \geq 0$, phương trình trở thành: $t^2 – 2t + 3 – m = 0$.

Cắt tại bốn điểm phân biệt: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m – 2 > 0}\\
{3 – m > 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow 2 < m < 3$.
Cắt tại ba điểm phân biệt: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3 – m = 0}\\
{2 > 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow m = 3$.
Cắt tại hai điểm phân biệt: $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3 – m < 0}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 – (3 – m) = 0}\\
{1 > 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m > 3}\\
{m = 2}
\end{array}} \right.$.
Không cắt trục hoành: $\left[ \begin{array}{l}
{m – 2 < 0}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m – 2 \ge 0}\\
{2 < 0}
\end{array}} \right.}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow m < 2$.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

(Các bài tập đã được cung cấp trong nội dung gốc)

Bài viết này cung cấp một hướng dẫn chi tiết về phương pháp giải các bài toán tương giao hàm trùng phương. Hy vọng rằng, với những kiến thức và ví dụ minh họa trên, bạn đọc có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự.