Đa thức

Đa thức - Lý thuyết Toán 8 Chương 1: Tổng quan

Đa thức là một biểu thức đại số bao gồm các số, các biến và các phép toán cộng, trừ, nhân, chia (với số khác 0) giữa chúng. Trong chương trình Toán 8, việc hiểu rõ về đa thức là nền tảng để giải quyết các bài toán về đa thức, phương trình bậc nhất một ẩn và các bài toán liên quan đến hình học.

1. Định nghĩa Đa thức

Một đa thức là một biểu thức có dạng:

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀

Trong đó:

x là biến số.
a_n, a_n-1, ..., a₁, a₀ là các hệ số (các số thực).
n là số mũ của biến x (n là một số nguyên không âm).

Ví dụ:

3x² + 2x - 1 là một đa thức.
5x⁴ - 7x + 2 là một đa thức.
7 là một đa thức (đa thức không).

2. Các loại Đa thức

Có một số loại đa thức thường gặp:

Đa thức một biến: Đa thức chỉ chứa một biến số. Ví dụ: 2x³ + x - 5.
Đa thức nhiều biến: Đa thức chứa nhiều biến số. Ví dụ: x² + 2xy + y².
Đa thức bậc: Bậc của đa thức là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức. Ví dụ: Đa thức 3x² + 2x - 1 có bậc là 2.
Đa thức không: Đa thức chỉ chứa một hằng số. Ví dụ: 5.

3. Các phép toán trên Đa thức

Có các phép toán cơ bản trên đa thức:

a. Phép cộng Đa thức

Để cộng hai đa thức, ta cộng các hệ số của các số hạng đồng dạng.

Ví dụ: (2x² + 3x - 1) + (x² - 2x + 3) = (2x² + x²) + (3x - 2x) + (-1 + 3) = 3x² + x + 2

b. Phép trừ Đa thức

Để trừ hai đa thức, ta trừ các hệ số của các số hạng đồng dạng.

Ví dụ: (2x² + 3x - 1) - (x² - 2x + 3) = (2x² - x²) + (3x + 2x) + (-1 - 3) = x² + 5x - 4

c. Phép nhân Đa thức

Để nhân hai đa thức, ta sử dụng quy tắc phân phối.

Ví dụ: (x + 2)(x - 3) = x(x - 3) + 2(x - 3) = x² - 3x + 2x - 6 = x² - x - 6

d. Phép chia Đa thức

Phép chia đa thức phức tạp hơn và thường sử dụng phương pháp chia đa thức theo cột.

4. Các Hằng đẳng thức Đa thức quan trọng

Có một số hằng đẳng thức đa thức quan trọng cần nhớ:

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
a² - b² = (a + b)(a - b)
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

5. Bài tập Vận dụng

Để củng cố kiến thức về đa thức, bạn có thể thực hành các bài tập sau:

Thu gọn đa thức: 3x² + 2x - 5x² + x + 1
Tìm bậc của đa thức: 5x⁴ - 2x² + 7
Thực hiện phép cộng: (x² + 2x - 3) + (2x² - x + 1)
Thực hiện phép trừ: (3x² - 5x + 2) - (x² + 2x - 1)

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết đa thức trong chương trình Toán 8. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải các bài toán thực tế.