Phân tích Đề Thi Chọn Đội Tuyển Học Sinh Giỏi Quốc Gia Môn Toán - Đồng Nai, Năm 2021
Ngày … tháng 09 năm 2020, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đồng Nai đã tổ chức kỳ thi chọn đội dự tuyển tham gia kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia năm 2021 môn Toán. Đề thi này được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy logic tốt.
Cấu trúc đề thi bao gồm 01 trang duy nhất, tập trung vào 05 bài toán tự luận. Thời gian làm bài là 180 phút, tạo áp lực nhất định lên thí sinh, đòi hỏi sự phân bổ thời gian hợp lý và tốc độ giải quyết bài toán hiệu quả.
Dưới đây là chi tiết về các bài toán trong đề thi, cùng với một số nhận xét ban đầu về độ khó và hướng tiếp cận:
Cho tam giác ABC cân tại A, lấy điểm D thuộc cạnh AB khác A và B, gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD, tiếp tuyến của đường tròn (O) tại D cắt đường thẳng AC tại điểm E, vẽ tiếp tuyến EF của đường tròn (O) tại tiếp điểm F khác D. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng BF và CD, gọi K là giao điểm của hai đường thẳng AI và BC. Chứng minh BK = 2CK.
Nhận xét: Đây là một bài toán hình học phẳng điển hình, kết hợp nhiều kiến thức về đường tròn ngoại tiếp, tiếp tuyến, và các tính chất của tam giác cân. Bài toán đòi hỏi thí sinh phải có khả năng vẽ hình chính xác, sử dụng các định lý về góc, tam giác đồng dạng và các tính chất liên quan đến đường tròn để tìm ra lời giải. Điểm mấu chốt có thể nằm ở việc chứng minh các tam giác đồng dạng và sử dụng tỷ lệ thức để suy ra kết quả cuối cùng.
Một tổ gồm có 5 học sinh được phân công trực nhật 6 ngày trong tuần từ thứ hai đến thứ bảy thỏa mãn các điều kiện sau: Mỗi ngày đều có từ 1 đến nhiều nhất là 2 học sinh trực và trong cả tuần mỗi học sinh trực đúng 2 lần, mỗi lần trực 1 ngày. Tính số các cách phân công trực nhật của tổ thỏa mãn các điều kiện đã cho.
Nhận xét: Bài toán này thuộc dạng bài toán đếm trong tổ hợp. Để giải quyết bài toán, thí sinh cần phải phân tích kỹ các điều kiện đề bài đưa ra và sử dụng các công cụ của tổ hợp như hoán vị, tổ hợp, nguyên lý bù trừ để tìm ra số cách phân công trực nhật thỏa mãn. Bài toán có thể được tiếp cận bằng cách xét các trường hợp khác nhau về số lượng học sinh trực mỗi ngày.
Cho dãy số (un) xác định bởi un+1 = un + 1/2021n với mọi n thuộc N*. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương n sao cho un > 0.
Nhận xét: Đây là một bài toán về dãy số, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức về quy nạp, giới hạn và các tính chất của dãy số. Để chứng minh tồn tại số nguyên dương n sao cho un > 0, thí sinh có thể sử dụng phương pháp quy nạp hoặc phân tích sự tăng giảm của dãy số. Việc lựa chọn phương pháp phù hợp sẽ giúp giải quyết bài toán một cách hiệu quả.
Đánh giá chung: Đề thi chọn đội tuyển HSG Toán năm 2021 của tỉnh Đồng Nai có độ khó tương đối cao, tập trung vào các kiến thức cơ bản nhưng đòi hỏi thí sinh phải có khả năng vận dụng linh hoạt và sáng tạo. Các bài toán được thiết kế đa dạng, bao gồm hình học, tổ hợp và số học, giúp đánh giá toàn diện năng lực của thí sinh. Đề thi này là một thử thách tốt cho những học sinh có đam mê và năng khiếu với môn Toán.
