đề chọn đội tuyển hsg toán 12 năm 2020 – 2021 sở gd&đt phú thọ (ngày 1)

Phân tích Đề Thi Chọn Đội Tuyển HSG Toán 12 – Phú Thọ (Ngày 1) – Năm học 2020-2021

Ngày 24 tháng 09 năm 2020, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Phú Thọ đã tổ chức thành công kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia lớp 12 THPT môn Toán năm học 2020 – 2021, ngày thi thứ nhất. Đề thi được đánh giá là có độ khó cao, phân loại rõ ràng học sinh, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy logic tốt.

Đề thi có cấu trúc gồm 01 trang, với 04 bài toán tự luận. Thời gian làm bài là 180 phút (không tính thời gian phát đề). Dưới đây là nội dung chi tiết các bài toán:

1. Bài 1: Hình học phẳng

Bài toán này tập trung vào kiến thức về đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp, tính chất của các điểm đặc biệt trong tam giác và các mối quan hệ hình học. Cụ thể:

• Cho tam giác ABC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp, I là tâm đường tròn nội tiếp.
• P là điểm chính giữa cung BAC, QP là đường kính của (O).
• D là giao điểm của PI và BC, F là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AID với đường thẳng PA.
• E trên tia DP sao cho DE = DQ.

Yêu cầu:

• a) Chứng minh rằng góc IDF = 90 độ. (Đây là một yêu cầu đòi hỏi thí sinh phải vận dụng kiến thức về góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, và các tính chất của tam giác vuông).
• b) Giả sử AEF = APE, chứng minh rằng sin² BAC = 2r/R. (Yêu cầu này liên quan đến việc sử dụng định lý sin, định lý cosin, và các công thức lượng giác để thiết lập mối liên hệ giữa các yếu tố của tam giác và các bán kính đường tròn).

Nhận xét: Bài toán này có tính chất điển hình của các bài toán hình học trong các kỳ thi học sinh giỏi, đòi hỏi thí sinh phải có khả năng vẽ hình chính xác, phân tích các mối quan hệ hình học và sử dụng các công cụ toán học một cách linh hoạt.

2. Bài 2: Số học

Bài toán này xoay quanh việc chứng minh một bất đẳng thức liên quan đến dãy số thực dương. Cụ thể:

• Cho dãy số thực dương (a_n) (n ≥ 1) thỏa mãn điều kiện: a₁ + a₂ + … + a_n + a_n+1 + a_n+2 < 4a_n+1.

Yêu cầu:

• Chứng minh rằng a₁ + a₂ + … + a_n ≤ a_n+1 với mọi n thuộc N*. (Đây là một bài toán bất đẳng thức đòi hỏi thí sinh phải sử dụng các kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức như đánh giá, biến đổi tương đương, hoặc sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc).

Nhận xét: Bài toán này kiểm tra khả năng phân tích và chứng minh bất đẳng thức của thí sinh, đồng thời đòi hỏi sự cẩn thận trong các phép biến đổi toán học.

3. Bài 3: Tổ hợp

Bài toán này liên quan đến việc đếm số phần tử của một tập hợp và đếm số tập con thỏa mãn một điều kiện nhất định. Cụ thể:

• Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho S là tập hợp các điểm (x;y) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
• i) x và y thuộc N.
• ii) 0 ≤ y ≤ x ≤ 2020.

Yêu cầu:

• a) Tính số phần tử của S. (Đây là một bài toán đếm cơ bản, đòi hỏi thí sinh phải hiểu rõ về tập hợp số tự nhiên và các điều kiện ràng buộc).
• b) Hỏi có bao nhiêu tập con A gồm 2020 phần tử của S sao cho A không chứa hai điểm (x₁;y₁) và (x₂;y₂) thỏa mãn: (x₁ – x₂)(y₁ – y₂) = 0? (Yêu cầu này phức tạp hơn, đòi hỏi thí sinh phải hiểu rõ về tập con, các điều kiện ràng buộc và sử dụng các kỹ thuật đếm nâng cao).

Nhận xét: Bài toán này kiểm tra khả năng tư duy logic và kỹ năng đếm của thí sinh, đồng thời đòi hỏi sự hiểu biết về các khái niệm cơ bản trong tổ hợp.

Đánh giá chung: Đề thi chọn đội tuyển HSG Toán 12 – Phú Thọ (Ngày 1) năm học 2020-2021 là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao. Các bài toán trong đề thi đều có tính sáng tạo, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy logic tốt. Đề thi này là một cơ hội tốt để các học sinh giỏi Toán rèn luyện và nâng cao năng lực của mình.