đề chọn đội tuyển thi hsg quốc gia môn toán năm 2020 – 2021 sở gd&đt kiên giang

Phân tích Đề Thi Chọn Đội Tuyển Học Sinh Giỏi Toán Cấp Quốc Gia – Kiên Giang, Năm Học 2020-2021

Ngày 29 tháng 09 năm 2020, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Kiên Giang đã tổ chức kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán để tham gia kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp Quốc gia năm học 2020 – 2021. Đề thi được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo.

Đề thi có cấu trúc gồm 01 trang, với 04 bài toán tự luận. Thời gian làm bài là 180 phút (không tính thời gian phát đề). Dưới đây là nội dung chi tiết của từng bài toán:

1. Bài 1: Hình học phẳng

Cho đường tròn (C₁) và điểm B thuộc (C₁). Điểm A khác B sao cho đường thẳng AB là tiếp tuyến của (C₁). Điểm C không thuộc (C₁) sao cho đoạn thẳng AC cắt (C₁) tại hai điểm phân biệt. Gọi (C₂) là đường tròn tiếp xúc với AC tại C và tiếp xúc với (C₁) tại D (điểm B và D ở khác phía so với bờ AC). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và Δ là tiếp tuyến chung của (C₁), (C₂) tại D.

• a) Chứng minh rằng điểm I cách đều hai đường thẳng AB và Δ.
• b) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Nhận xét: Đây là một bài toán hình học phẳng khá phức tạp, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức về đường tròn, tiếp tuyến, tâm đường tròn ngoại tiếp và các tính chất liên quan. Ý a tập trung vào việc chứng minh tính chất đường trung bình, sử dụng các tính chất của tiếp tuyến và đường tròn. Ý b đòi hỏi thí sinh phải có khả năng liên hệ các yếu tố hình học, sử dụng các định lý về đường tròn ngoại tiếp và các tính chất đối xứng.

2. Bài 2: Số học

Trên tập hợp các số nguyên không âm, xét phương trình: x² + 2.3^y = x(2^{y + 1} – 1) (1).

• a) Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm (x;y) thỏa mãn (1) mà y ≤ 5.
• b) Chứng minh rằng không tồn tại cặp số nguyên không âm (x;y) với y ≥ 6 thỏa mãn phương trình (1).

Nhận xét: Bài toán số học này yêu cầu thí sinh phải có kiến thức về phương trình Diophantine, các tính chất của số nguyên và lũy thừa. Ý a có thể giải bằng phương pháp xét các trường hợp của y từ 0 đến 5. Ý b đòi hỏi thí sinh phải sử dụng các đánh giá và chứng minh bằng phản chứng để loại trừ khả năng tồn tại nghiệm với y ≥ 6.

3. Bài 3: Giải tích

Tìm tất cả các hàm số liên tục f: ℝ → ℝ sao cho: 8f(4x) – 10f(2x) + 3f(x) = 30x với mọi x thuộc ℝ.

Nhận xét: Đây là một bài toán về hàm số, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức về tính liên tục, các phương pháp giải phương trình hàm và khả năng suy luận logic. Bài toán có thể được giải bằng phương pháp tìm nghiệm riêng và sử dụng tính chất của hàm số liên tục.

Đánh giá chung:

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán cấp Quốc gia – Kiên Giang năm học 2020-2021 có độ khó cao, phân loại rõ ràng học sinh có năng lực và đam mê với môn Toán. Các bài toán trong đề thi đều có tính sáng tạo, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức sâu rộng, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy độc lập. Đề thi này là một thước đo quan trọng để đánh giá chất lượng đào tạo Toán của tỉnh Kiên Giang và là cơ sở để lựa chọn những học sinh xuất sắc nhất tham gia kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp Quốc gia.