đề chọn đội tuyển hsg toán thpt năm 2020 – 2021 sở gd&đt hà tĩnh

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT tỉnh Hà Tĩnh năm 2020 – 2021: Đánh giá và phân tích chuyên sâu

Trong hai ngày 22 và 23 tháng 09 năm 2020, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hà Tĩnh đã tổ chức kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2020 – 2021. Kỳ thi này đóng vai trò quan trọng trong việc phát hiện và bồi dưỡng những học sinh có năng lực đặc biệt trong lĩnh vực Toán học, tạo tiền đề cho các em tham gia và đạt thành tích cao trong các kỳ thi cấp quốc gia.

Đề thi năm nay có cấu trúc gồm 02 bài thi, tổng cộng 07 bài toán, với thời gian làm bài 180 phút cho mỗi bài. Đây là một cấu trúc phổ biến trong các kỳ thi chọn đội tuyển, đòi hỏi thí sinh phải có sự chuẩn bị kỹ lưỡng về kiến thức, kỹ năng và khả năng phân bổ thời gian hợp lý.

Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi, cùng với một số nhận xét và phân tích chuyên sâu:

1. Bài toán 1: Phương trình xⁿ = x + 1
   • Phần a: Chứng minh phương trình có nghiệm dương duy nhất x_n. Đây là một yêu cầu cơ bản, đòi hỏi thí sinh phải nắm vững kiến thức về hàm số và khả năng chứng minh tính đơn điệu. Việc chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm dương là bước đệm quan trọng cho các phần tiếp theo.
   • Phần b: Tính giới hạn của dãy số u_n = n(x_n – 1). Bài toán này đòi hỏi thí sinh phải có kỹ năng phân tích và ước lượng, sử dụng các công cụ của giải tích để tìm ra giới hạn của dãy số.
   • Phần c: Tìm số thực k sao cho dãy số v_n = n^k(x_n+1 – x_n) có giới hạn hữu hạn khác 0. Đây là phần khó nhất của bài toán, đòi hỏi thí sinh phải có tư duy sáng tạo và khả năng vận dụng linh hoạt các kiến thức về giải tích, đặc biệt là kỹ thuật tìm giới hạn và ước lượng.

   Nhận xét: Bài toán này tập trung vào việc vận dụng kiến thức về giải tích, đặc biệt là các kỹ thuật tìm giới hạn và ước lượng. Độ khó của bài toán tăng dần qua các phần, đòi hỏi thí sinh phải có sự kiên nhẫn và khả năng giải quyết vấn đề một cách hệ thống.

2. Bài toán 2: Hình học phẳng

   Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC < BC) nội tiếp đường tròn (O;R). Đường thẳng d vuông góc với OA cắt AB, AC tại M, N. Gọi K là giao điểm của BN và CM, P là giao điểm của AK và BC, I là trung điểm BC.

   • Phần a: Chứng minh tứ giác MNIP nội tiếp được trong một đường tròn. Đây là một bài toán về tứ giác nội tiếp, đòi hỏi thí sinh phải nắm vững các tính chất của tứ giác nội tiếp và các góc liên quan.
   • Phần b: Gọi H là trực tâm tam giác AMN. Chứng minh rằng đường thẳng HK luôn đi qua một điểm cố định khi đường thẳng d thay đổi. Đây là một bài toán khó, đòi hỏi thí sinh phải có tư duy hình học không gian và khả năng sử dụng các phép biến hình để chứng minh tính cố định của điểm K.

   Nhận xét: Bài toán này tập trung vào việc vận dụng kiến thức về hình học phẳng, đặc biệt là các tính chất của đường tròn, tam giác và tứ giác. Phần b của bài toán đòi hỏi thí sinh phải có tư duy sáng tạo và khả năng giải quyết vấn đề một cách linh hoạt.

3. Bài toán 3: Tổ hợp

   Cho bảng vuông n x n ô vuông (n > 2) với các ô vuông được tô bằng hai màu đen hoặc trắng. Mỗi bước, ta thay đổi màu của toàn bộ các ô trong một hàng hoặc một cột.

   • Phần a: Giả sử trong bảng có đúng một ô được tô đen. Hỏi sau một số bước đổi màu các hàng hoặc cột nào đó thì bảng toàn ô trắng được hay không? Đây là một bài toán về logic và tổ hợp, đòi hỏi thí sinh phải có khả năng phân tích và suy luận.
   • Phần b: Có tất cả bao nhiêu cấu hình ban đầu sao cho sau hữu hạn bước đổi màu hàng hoặc cột thì bảng gồm toàn ô trắng? Đây là một bài toán đếm, đòi hỏi thí sinh phải có kỹ năng tổ hợp và khả năng xây dựng công thức đếm.

   Nhận xét: Bài toán này tập trung vào việc vận dụng kiến thức về tổ hợp và logic. Phần b của bài toán đòi hỏi thí sinh phải có tư duy trừu tượng và khả năng xây dựng mô hình toán học để giải quyết vấn đề.

Đánh giá chung:

Đề thi chọn đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 tỉnh Hà Tĩnh được đánh giá là một đề thi chất lượng, có độ khó phù hợp và bao quát nhiều kiến thức quan trọng trong chương trình Toán THPT. Đề thi không chỉ kiểm tra kiến thức mà còn đánh giá khả năng tư duy, sáng tạo và giải quyết vấn đề của thí sinh. Các bài toán trong đề thi có tính liên kết chặt chẽ với nhau, đòi hỏi thí sinh phải có sự hiểu biết sâu sắc về các khái niệm và định lý Toán học.