đề chọn đội tuyển dự thi hsg quốc gia 2021 môn toán sở gd&đt đồng tháp

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán tỉnh Đồng Tháp năm 2021: Đánh giá và phân tích chuyên sâu

Ngày 28 tháng 7 năm 2020, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đồng Tháp đã tổ chức kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán để tham gia kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp Quốc gia năm 2021. Đề thi được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo.

Đề thi có cấu trúc gồm 02 trang, với 05 bài toán tự luận, thời gian làm bài là 180 phút (không tính thời gian phát đề). Đây là một thời gian tương đối thoải mái, cho phép thí sinh có đủ thời gian để suy nghĩ và trình bày lời giải một cách chi tiết và rõ ràng.

Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi và một số nhận xét, phân tích chuyên sâu về từng bài toán:

1. Bài toán 1: Số và Đại số

   Xét số T = 3ⁿ – 2ⁿ, trong đó n là số nguyên dương, n ≥ 2. Chứng minh rằng:

   • a) Không tồn tại n để T là bình phương của một số nguyên tố.
   • b) Nếu T là lập phương của một số nguyên tố thì n là một số nguyên tố.

   Nhận xét: Bài toán này tập trung vào kiến thức về số học, đặc biệt là các tính chất của lũy thừa và số nguyên tố. Phần a) đòi hỏi thí sinh phải sử dụng các kỹ năng phân tích, ước lượng và chứng minh phản chứng. Phần b) yêu cầu thí sinh phải kết hợp kiến thức về số nguyên tố và lũy thừa để đưa ra kết luận.

2. Bài toán 2: Đại số

   Với mỗi m thuộc N* ta kí hiệu: a(2m) = (m!)^2, a(2m + 1) = (m!).((m + 1)!). Cho đa thức p(x) hệ số nguyên, có bậc lớn hơn hoặc bằng k (k thuộc N*) và có ít nhất k nghiệm nguyên phân biệt. Xét số nguyên n (n khác 0) sao cho đa thức q(x) = p(x) – n có ít nhất một nghiệm nguyên. Chứng minh rằng |n| ≥ a(k).

   Nhận xét: Đây là một bài toán đại số khá khó, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức về đa thức, nghiệm của đa thức và các bất đẳng thức. Bài toán này kiểm tra khả năng tư duy trừu tượng và kỹ năng chứng minh của thí sinh.

3. Bài toán 3: Hình học

   Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F.

   1. Gọi S là giao điểm của EF với BC. Chứng minh SI vuông góc với AD.
   2. Đường thẳng d thay đổi, đi qua S và cắt đường tròn (I) tại hai điểm phân biệt M, N. Các tiếp tuyến tại M, N của (I) cắt nhau tại T. Chứng minh T thuộc một đường thẳng cố định.
   3. Gọi K là giao điểm của ME và NF, G là giao điểm của MC và NB. Chứng minh K và G cùng thuộc đường thẳng AD.

   Nhận xét: Bài toán hình học này đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc về đường tròn nội tiếp, các tính chất của tam giác và các định lý hình học cơ bản. Các câu hỏi nhỏ trong bài toán này có tính liên kết chặt chẽ với nhau, đòi hỏi thí sinh phải có khả năng phân tích và tổng hợp thông tin để giải quyết vấn đề.

Đánh giá chung:

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán tỉnh Đồng Tháp năm 2021 được đánh giá là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao. Các bài toán trong đề thi đều có độ khó tương đối, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức sâu rộng, kỹ năng giải quyết vấn đề tốt và khả năng tư duy sáng tạo. Đề thi này là một cơ hội tốt để các học sinh giỏi Toán thể hiện năng lực của mình và chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp Quốc gia.