giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm 2022 của Sở Giáo dục và Đào tạo Sơn La. Kỳ thi được tổ chức trong hai ngày 18 và 19 tháng 9 năm 2021. Đây là một đề thi có chất lượng, thể hiện rõ các yêu cầu về kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề trong chương trình học sinh giỏi.
Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:
Cho tam giác nhọn ABC không cân nội tiếp đường tròn (O), có đường cao AH và tâm đường tròn nội tiếp là I. Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai M. Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua tâm O. Đường thẳng MA’ cắt các đường thẳng AH, BC theo thứ tự tại N và K.
Nhận xét: Đây là một bài hình học điển hình, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc về đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp, tính chất đối xứng và các định lý liên quan đến tam giác. Điểm mấu chốt của bài toán nằm ở việc tìm ra các mối liên hệ giữa các điểm và chứng minh các tứ giác nội tiếp. Ý b của bài toán đòi hỏi sự kết hợp linh hoạt giữa các kiến thức hình học và đại số để chứng minh một kết quả thú vị.
Chứng minh rằng nếu số tự nhiên m có dạng 4k + 1 với k > 0 mà biểu diễn được không ít hơn hai cách dưới dạng tổng hai số chính phương thì m là hợp số.
Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực số học, yêu cầu thí sinh nắm vững các kiến thức về số chính phương, số dư và các tính chất của số nguyên tố. Để giải bài toán này, cần sử dụng các kỹ thuật chứng minh số học và phân tích cấu trúc của số có dạng 4k + 1.
Với số nguyên dương N cho trước, trên bảng có viết tất cả các ước nguyên dương của N. Hai bạn An và Bình chơi một trò chơi với luật như sau: An đi đầu tiên và xóa số N, ở mỗi lượt tiếp theo, các bạn sẽ xóa số là ước hoặc bội của số mà người kia xóa ở lượt trước đó. Ai đến lượt đi của mình mà không thực hiện được nữa thì thua.
Nhận xét: Đây là một bài toán tổ hợp mang tính chiến lược cao, đòi hỏi thí sinh phải có khả năng phân tích, suy luận logic và tìm ra các chiến lược tối ưu. Ý a của bài toán yêu cầu chứng minh sự tồn tại của một chiến lược thắng cho Bình, trong khi ý b yêu cầu tìm ra các giá trị cụ thể của N để An có thể thắng. Bài toán này đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về lý thuyết trò chơi và các khái niệm liên quan đến ước số.
Bộ đề thi này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang luyện thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán. Việc giải và phân tích kỹ lưỡng các bài toán trong đề thi sẽ giúp các em củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng và nâng cao khả năng giải quyết vấn đề.
