giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 bộ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2024 – 2025 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Nam Định tổ chức. Đây là một đề thi có chất lượng, thể hiện rõ xu hướng ra đề của các kỳ thi học sinh giỏi Toán hiện nay, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo.
Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:
Cho tam giác ABC có AB < AC và nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Lấy điểm K thuộc (O) sao cho ∠AKH = 90° và lấy điểm G thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF sao cho ∠DGH = 90°. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn HA, HK.
Nhận xét: Đây là một bài hình học khá phức tạp, đòi hỏi thí sinh phải nắm vững kiến thức về đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp, đường thẳng Euler, tính chất của các điểm đặc biệt trong tam giác (trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp). Việc chứng minh sự thẳng hàng ở câu a có thể sử dụng các phương pháp như vectơ, tam giác đồng dạng hoặc sử dụng tính chất của đường tròn. Câu b đòi hỏi sự kết hợp nhiều kiến thức và kỹ năng, có thể cần sử dụng phép biến hình hoặc tọa độ để giải quyết.
Cho tập hợp X = {1; 2; 3; …; 2025}. Hỏi có bao nhiêu cách phân hoạch X thành ba tập hợp con khác rỗng?
Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực tổ hợp, đòi hỏi thí sinh phải hiểu rõ về các khái niệm như phân hoạch tập hợp, số phần tử của tập hợp. Để giải bài toán này, có thể sử dụng công thức Stirling hoặc các phương pháp đếm khác. Tuy nhiên, với số lượng phần tử lớn như 2025, việc tính toán trực tiếp có thể gặp khó khăn, do đó cần tìm cách tiếp cận thông minh hơn.
Cho số nguyên dương n ≥ 4 và n đường thẳng trên mặt phẳng sao cho không có hai đường thẳng song song và không có ba đường thẳng đồng quy. Các đường thẳng này chia mặt phẳng thành các phần. Chứng minh có ít nhất 2/3(n – 1) phần là tam giác.
Nhận xét: Đây là một bài toán hình học phẳng khá thú vị, đòi hỏi thí sinh phải có khả năng tư duy logic và chứng minh toán học. Để giải bài toán này, cần phân tích cấu trúc của các phần được tạo ra bởi n đường thẳng và tìm ra mối liên hệ giữa số lượng đường thẳng và số lượng tam giác. Có thể sử dụng các công thức về số giao điểm của các đường thẳng và các tính chất của đa giác để chứng minh bất đẳng thức.
Bộ đề thi này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang luyện thi học sinh giỏi môn Toán. giaibaitoan.com hy vọng rằng, với việc phân tích chi tiết này, các em sẽ có thêm động lực và phương pháp học tập hiệu quả để đạt được thành tích cao trong các kỳ thi sắp tới.
