đề lập đội tuyển thi hsg qg môn toán thpt năm 2024 – 2025 sở gd&đt tiền giang

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi lập đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2024 – 2025 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Tiền Giang tổ chức, diễn ra vào ngày 17-18 tháng 9 năm 2024. Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc và kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt.

Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài 1: Đại số

   Cho đa thức P(x) hệ số nguyên có bậc n ≥ 5 và P(0) = 0. Biết rằng P(x) có n nghiệm nguyên phân biệt và hệ số của bậc cao nhất là số dương.

   • a) Chứng minh rằng đa thức Q(x) = P(x) – 1 không phân tích được thành tích của 2 đa thức hệ số nguyên có bậc không nhỏ hơn 1.
   • b) Chứng minh rằng tập các nghiệm nguyên của đa thức H(x) = P(P(x)) trùng với tập các nghiệm nguyên của đa thức P(x).

   Nhận xét: Bài toán này tập trung vào kiến thức về đa thức, nghiệm của đa thức và các phép biến đổi đa thức. Câu a yêu cầu thí sinh phải vận dụng các kỹ thuật chứng minh đa thức không phân tích được, có thể sử dụng định lý Bezout hoặc các phương pháp khác. Câu b đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về cấu trúc của đa thức và khả năng suy luận logic.

2. Bài 2: Hình học

   Cho tam giác không cân ABC nội tiếp đường tròn (O) (BC không là đường kính). Giả sử đường tròn (O) và hai điểm B, C cố định; A là điểm thay đổi trên cung lớn BC (A khác B, C). I là trung điểm BC. D là điểm đối xứng với A qua O. BD cắt AC tại E; CD cắt AB tại F. M là trung điểm BF, N là trung điểm CE. Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên BC. AI cắt lại (O) tại L khác A.

   • a) Chứng minh bốn điểm M, N, I, K cùng thuộc một đường tròn.
   • b) Chứng minh KL luôn đi qua một điểm cố định.

   Nhận xét: Bài toán hình học này đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc về đường tròn, tính chất đối xứng, và các định lý về tam giác. Việc sử dụng các phép biến hình và các tính chất của điểm đặc biệt trong tam giác là rất quan trọng để giải quyết bài toán. Câu b thường yêu cầu thí sinh phải tìm ra một điểm cố định thông qua việc sử dụng các tính chất bất biến.

3. Bài 3: Tổ hợp

   Trong bảng 10 x 10, viết các chữ số 0, 1, 2, 3, …, 9 theo thứ tự tùy ý vào các ô vuông, mỗi ô vuông một chữ số, sao cho mỗi chữ số xuất hiện 10 lần.

   • a) Hỏi có thể làm điều này sao cho mỗi hàng và mỗi cột chứa không quá bốn chữ số phân biệt không?
   • b) Chứng minh rằng tồn tại một hàng hoặc một cột trong đó có ít nhất bốn chữ số khác nhau.

   Nhận xét: Bài toán tổ hợp này kiểm tra khả năng tư duy logic và kỹ năng chứng minh sự tồn tại. Câu a yêu cầu thí sinh phải tìm ra một cấu hình thỏa mãn điều kiện đề bài hoặc chứng minh rằng không tồn tại cấu hình như vậy. Câu b đòi hỏi thí sinh phải sử dụng các nguyên lý tổ hợp để chứng minh sự tồn tại của một hàng hoặc cột thỏa mãn điều kiện.

Đề thi này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang luyện thi học sinh giỏi môn Toán. giaibaitoan.com sẽ tiếp tục cập nhật thêm nhiều đề thi và tài liệu học tập khác trong thời gian tới.