đề chọn đội tuyển thi hsg toán quốc gia năm 2020 – 2021 sở gd&đt thái nguyên

Đánh giá chung về đề chọn đội tuyển HSG Toán Quốc gia năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Thái Nguyên

Đề thi chọn đội tuyển HSG Toán Quốc gia năm 2020-2021 của Sở GD&ĐT Thái Nguyên là một đề thi có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy trừu tượng tốt. Đề thi bao gồm 5 bài toán tự luận, được trình bày trên một trang giấy, với thời gian làm bài là 180 phút. Nhìn chung, đề thi có sự phân hóa rõ rệt, giúp phân loại thí sinh một cách hiệu quả.

Dưới đây là phân tích chi tiết về ba bài toán được trích dẫn:

1. Bài toán 1: Tìm hàm số

   Bài toán yêu cầu tìm tất cả các hàm số f: ℝ → ℝ thỏa mãn phương trình hàm f(x + f(y)) = 4f(x) + f(y) – 3x với mọi x, y ∈ ℝ. Đây là một bài toán về phương trình hàm, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức về các phương pháp giải phương trình hàm cơ bản, như phương pháp thay đặc biệt, phương pháp xét các giá trị cụ thể của biến, và đặc biệt là kỹ năng biến đổi đại số khéo léo. Bài toán này có thể được giải bằng cách tìm ra một hàm số thỏa mãn và chứng minh tính duy nhất của nó.

2. Bài toán 2: Đa thức và số nguyên tố

   Bài toán cho đa thức P(x) = x² + ax + b với a, b là các số nguyên. Điều kiện bài toán là với mọi số nguyên tố p, luôn tồn tại số nguyên k để P(k) và P(k + 1) đều chia hết cho p. Yêu cầu chứng minh rằng tồn tại số nguyên m để P(m) = P(m + 1) = 0. Đây là một bài toán kết hợp kiến thức về đa thức, số nguyên tố và tính chia hết. Để giải bài toán này, thí sinh cần sử dụng các tính chất của đa thức, đặc biệt là mối quan hệ giữa nghiệm và hệ số, kết hợp với việc phân tích tính chia hết của đa thức. Bài toán này đòi hỏi thí sinh phải có tư duy logic và khả năng suy luận chặt chẽ.

3. Bài toán 3: Dãy số và căn bậc hai

   Bài toán định nghĩa hàm s(x) là số chính phương lớn nhất không vượt quá x. Dãy số (a_n) được xác định bởi a₁ = p (p là số nguyên dương) và a_n+1 = 2a_n – s(a_n) với mọi n ≥ 1. Yêu cầu tìm tất cả các số nguyên dương p để dãy số (a_n) bị chặn. Đây là một bài toán về dãy số, kết hợp với kiến thức về số chính phương. Để giải bài toán này, thí sinh cần phân tích sự biến đổi của dãy số, tìm ra các tính chất của dãy số, và sử dụng các tiêu chuẩn để xét tính bị chặn của dãy số. Bài toán này đòi hỏi thí sinh phải có khả năng quan sát, phân tích và tổng hợp thông tin.

Nhận xét chung:

Ba bài toán trên đều là những bài toán khó, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức sâu rộng và kỹ năng giải quyết vấn đề tốt. Đề thi này không chỉ kiểm tra kiến thức mà còn đánh giá khả năng sáng tạo và tư duy độc lập của thí sinh. Các bài toán có tính chất mở, khuyến khích thí sinh tìm tòi nhiều hướng giải khác nhau. Đây là một đề thi chất lượng, góp phần vào việc phát hiện và bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu Toán.