giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán năm 2019 của trường Phổ thông Năng khiếu (PTNK) – Thành phố Hồ Chí Minh (Vòng 2). Đề thi này được thiết kế dành cho các thí sinh có định hướng theo đuổi chuyên sâu môn Toán, đòi hỏi khả năng vận dụng kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề ở mức độ cao.
Đề thi bao gồm 5 bài toán, với thời gian làm bài là 150 phút (không bao gồm thời gian phát đề). Cấu trúc đề thi thể hiện sự đa dạng về chủ đề và mức độ khó, bao gồm các bài toán về tổ hợp, số học và chứng minh bất đẳng thức. Dưới đây là chi tiết về các bài toán được trích dẫn:
Bài toán 1: Về nguyên lý Dirichlet và ứng dụng trong tổ hợp.
Trong một buổi gặp gỡ giao lưu giữa các học sinh đến từ n quốc gia, người ta nhận thấy rằng cứ 10 học sinh bất kỳ thì có ít nhất 3 học sinh đến từ cùng một quốc gia.
a) Gọi k là số các quốc gia có đúng 1 học sinh tham dự buổi gặp gỡ. Chứng minh rằng n < (k + 10)/2.
Nhận xét: Đây là một bài toán đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về nguyên lý Dirichlet (còn gọi là nguyên lý hộp). Việc chứng minh bất đẳng thức này yêu cầu thí sinh phải khéo léo vận dụng nguyên lý Dirichlet để ước lượng số lượng học sinh từ mỗi quốc gia, từ đó thiết lập mối liên hệ giữa n và k.
b) Biết rằng số các học sinh tham dự buổi gặp gỡ là 60. Chứng minh rằng có thể tìm được ít nhất là 15 học sinh đến từ cùng một quốc gia.
Nhận xét: Bài toán này tiếp tục khai thác nguyên lý Dirichlet. Với số lượng học sinh cố định là 60, thí sinh cần chứng minh rằng tồn tại ít nhất một quốc gia có số học sinh vượt quá hoặc bằng 15. Đây là một ứng dụng trực tiếp và quan trọng của nguyên lý Dirichlet trong các bài toán đếm.
Bài toán 2: Về tính chia hết và chứng minh.
Cho n là số tự nhiên, n > 3. Chứng minh rằng 2n + 1 không chia hết cho 2m – 1 với mọi số tự nhiên m sao cho 2 < m ≤ n.
Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực số học, đòi hỏi thí sinh phải nắm vững các tính chất về chia hết và lũy thừa. Để giải quyết bài toán này, có thể sử dụng các phương pháp như xét tính đồng dư hoặc phân tích cấu trúc của 2n + 1 và 2m – 1.
Bài toán 3: Về tính chia hết và điều kiện cần.
Tìm tất cả những số tự nhiên n sao cho 2n + 1 chia hết cho 9.
Nhận xét: Đây là một bài toán số học khác, yêu cầu thí sinh phải tìm ra các giá trị của n thỏa mãn điều kiện chia hết cho 9. Có thể sử dụng các tính chất về đồng dư thức để đơn giản hóa bài toán và tìm ra các giá trị n phù hợp.
Nhìn chung, đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán năm 2019 trường PTNK – TP HCM (Vòng 2) là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao. Đề thi không chỉ kiểm tra kiến thức nền tảng mà còn đánh giá khả năng tư duy logic, khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán thực tế và khả năng trình bày lời giải một cách rõ ràng, mạch lạc của thí sinh. Đây là một nguồn tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh đang chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh vào các trường chuyên Toán.
