đề tuyển sinh lớp 10 môn toán (chuyên) năm 2025 trường ptnk – tp hcm

giaibaitoan.com xin giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán năm 2025 của trường Phổ thông Năng khiếu, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh. Kỳ thi chính thức diễn ra vào ngày 25 tháng 05 năm 2025. Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc và khả năng vận dụng linh hoạt các kỹ năng giải toán.

Dưới đây là nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài 1: Người ta muốn ghi bốn số thực phân biệt vào bốn đỉnh của hình vuông ABCD (mỗi đỉnh một số) thỏa mãn:
   • Tổng hai số được ghi ở hai đầu của cạnh AB là 0.
   • Tổng hai số được ghi ở hai đầu của ba cạnh còn lại là ba giá trị phân biệt: 1, 2, 3.

   Yêu cầu:

   • a) Chỉ ra một cách ghi thỏa mãn các điều kiện trên.
   • b) Trong các cách ghi thỏa mãn các điều kiện trên, tìm cách ghi có tổng bình phương của các số ở bốn đỉnh là nhỏ nhất.

   Nhận xét: Bài toán này kết hợp kiến thức về hình học và đại số. Để giải quyết bài toán, cần thiết lập hệ phương trình dựa trên các điều kiện đề bài và sử dụng các kỹ năng biến đổi đại số để tìm ra nghiệm. Phần b yêu cầu tối ưu hóa, đòi hỏi thí sinh phải có khả năng phân tích và đánh giá các nghiệm tìm được.

2. Bài 2: Cho các số nguyên dương m, n thỏa mãn: m² + m + n² chia hết cho tích mn.

   Yêu cầu:

   • a) Chứng minh không tồn tại m, n thỏa mãn điều kiện trên khi n = 3.
   • b) Tìm m, n thỏa mãn điều kiện trên biết m chia hết cho n.
   • c) Ký hiệu d là ước chung lớn nhất của m và n. Chứng minh nếu m, n thỏa mãn điều kiện trên thì m = d².

   Nhận xét: Đây là một bài toán số học đòi hỏi thí sinh phải nắm vững các kiến thức về chia hết, ước chung lớn nhất và các tính chất của số nguyên. Việc chứng minh không tồn tại nghiệm trong trường hợp cụ thể (n=3) và tìm nghiệm tổng quát đòi hỏi sự tư duy logic và kỹ năng chứng minh toán học.

3. Bài 3: Cho bảng ô vuông kích thước 2 × 9 và số nguyên dương k ≤ 18. Hai ô của bảng được gọi là kề bên nếu chúng có một cạnh chung. Hai bạn An và Bình chơi trò “Truy Tìm Tàu Ngầm” như sau: Trước khi trò chơi bắt đầu, An chọn một ô trên bảng và không cho Bình biết. Ở mỗi lượt chơi: An phải chọn một ô mới, kề bên với ô đã chọn trước đó, và không cho Bình biết. Sau khi An chọn xong, Bình chọn k ô của bảng và hỏi An: trong k ô này có ô An vừa chọn hay không? Nếu có thì Bình thắng, nếu không thì hai bạn lại chơi lượt tiếp theo.

   Yêu cầu:

   • a) Xét k = 4. Chứng minh rằng Bình có thể thắng sau không quá 8 lượt chơi.
   • b) Xét k = 2. Chứng minh rằng Bình có thể thắng sau không quá 16 lượt chơi.

   Nhận xét: Bài toán này thuộc dạng bài toán chiến lược, kết hợp giữa tư duy logic và khả năng phân tích tình huống. Để giải quyết bài toán, cần xây dựng chiến lược cho Bình dựa trên việc phân tích các khả năng di chuyển của An và đảm bảo rằng Bình luôn có thể thắng trong một số lượt chơi nhất định.

Đề thi này là một thử thách lớn đối với các thí sinh có đam mê và năng lực với môn Toán. Việc luyện tập và làm quen với các dạng bài tập tương tự sẽ giúp các em tự tin hơn khi bước vào kỳ thi chính thức.